Calcular os seguintes limites:
10)
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Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações e observações dadas:
- A expressão envolve raízes quadradas de
e de . - Para que
seja real e a expressão faça sentido em uma vizinhança de , é preciso que , isto é, . Se a raiz não é real em e a expressão não está definida (no conjunto dos reais). - A incógnita do limite é a variável
que tende a ; é tratado como constante. - O que se pede é o limite quando
. Devemos distinguir os casos possíveis em função de (especialmente , , ).
Passo 2
Estratégia escolhida (motivo didático):
- Aqui dá para aplicar uma manipulação algébrica clássica: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da diferença de raízes. Isso elimina as raízes no numerador e simplifica a expressão, sem precisar usar derivadas como atalho (mas depois eu comento a interpretação pela derivada).
- Vou definir
para deixar as contas mais limpas e depois voltar para .
Passo 3
Multiplicação pelo conjugado (passo-a-passo):
- Começo com
. Então a expressão fica
- Multiplico numerador e denominador pelo conjugado
. Isso é permitido sempre que e . Observo que se então e o denominador do produto não se anula. - Aplicando a multiplicação:
Passo 4
Simplificação após usar o conjugado:
- Desenvolvendo o numerador obtemos
- Portanto a fração fica
válida para
e quando as raízes estão definidas.
Passo 5
Tomando o limite
(caso
):
- Como a expressão simplificou para
, podemos tomar o limite diretamente:
- Voltando a
, obtemos
- Aqui usei que
quando .
Passo 6
Discussão dos casos e interpretação:
- Se
: todas as expressões nas etapas acima são válidas em uma vizinhança de , e o limite existe e é finito, sendo . - Se
: então e a expressão original é para ; para a raiz não é real. Portanto o limite bilateral não existe no conjunto dos números reais; o limite pelo lado positivo diverge para . - Se
: e não é real, então a expressão não está definida em (no contexto dos reais) e não faz sentido falar no limite real bilateral.
Também vale comentar (intuição): a expressão é exatamente a definição da derivada da função
avaliada em
(pensando em
). A derivada
dá o mesmo resultado quando
e
.