Calcular os seguintes limites:
10) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}.
Informações e observações dadas:
  • A expressão envolve raízes quadradas de a^{3}+h e de a^{3}.
  • Para que \sqrt{a^{3}} seja real e a expressão faça sentido em uma vizinhança de h=0, é preciso que a^{3}\ge 0, isto é, a\ge 0. Se a<0 a raiz não é real em h=0 e a expressão não está definida (no conjunto dos reais).
  • A incógnita do limite é a variável h que tende a 0; a é tratado como constante.
  • O que se pede é o limite quando h\to0. Devemos distinguir os casos possíveis em função de a (especialmente a>0, a=0, a<0).

Passo 2

Estratégia escolhida (motivo didático):
  • Aqui dá para aplicar uma manipulação algébrica clássica: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da diferença de raízes. Isso elimina as raízes no numerador e simplifica a expressão, sem precisar usar derivadas como atalho (mas depois eu comento a interpretação pela derivada).
  • Vou definir A=a^{3} para deixar as contas mais limpas e depois voltar para a.

Passo 3

Multiplicação pelo conjugado (passo-a-passo):
  • Começo com A=a^{3}. Então a expressão fica
\frac{\sqrt{A+h}-\sqrt{A}}{h}.
  • Multiplico numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{A+h}+\sqrt{A}. Isso é permitido sempre que h\neq0 e \sqrt{A+h}+\sqrt{A}\neq0. Observo que se a>0 então \sqrt{A}>0 e o denominador do produto não se anula.
  • Aplicando a multiplicação:
\frac{\sqrt{A+h}-\sqrt{A}}{h}\cdot\frac{\sqrt{A+h}+\sqrt{A}}{\sqrt{A+h}+\sqrt{A}} =\frac{(\sqrt{A+h})^{2}-(\sqrt{A})^{2}}{h\bigl(\sqrt{A+h}+\sqrt{A}\bigr)}.

Passo 4

Simplificação após usar o conjugado:
  • Desenvolvendo o numerador obtemos
(\sqrt{A+h})^{2}-(\sqrt{A})^{2}=(A+h)-A=h.
  • Portanto a fração fica
\frac{h}{h\bigl(\sqrt{A+h}+\sqrt{A}\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{A+h}+\sqrt{A}},
válida para h\neq0 e quando as raízes estão definidas.

Passo 5

Tomando o limite h\to0 (caso a>0):
  • Como a expressão simplificou para \dfrac{1}{\sqrt{A+h}+\sqrt{A}}, podemos tomar o limite diretamente:
\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{A+h}+\sqrt{A}} =\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{A}}=\frac{1}{2\sqrt{A}}.
  • Voltando a A=a^{3}, obtemos
\frac{1}{2\sqrt{a^{3}}}=\frac{1}{2\,a^{3/2}}.
  • Aqui usei que \sqrt{a^{3}}=a^{3/2} quando a\ge0.

Passo 6

Discussão dos casos e interpretação:
  • Se a>0: todas as expressões nas etapas acima são válidas em uma vizinhança de h=0, e o limite existe e é finito, sendo \dfrac{1}{2a^{3/2}}.
  • Se a=0: então A=0 e a expressão original é \dfrac{\sqrt{h}-0}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}} para h>0; para h<0 a raiz \sqrt{a^{3}+h}=\sqrt{h} não é real. Portanto o limite bilateral h\to0 não existe no conjunto dos números reais; o limite pelo lado positivo diverge para +\infty.
  • Se a<0: a^{3}<0 e \sqrt{a^{3}} não é real, então a expressão não está definida em h=0 (no contexto dos reais) e não faz sentido falar no limite real bilateral.
Também vale comentar (intuição): a expressão é exatamente a definição da derivada da função f(x)=\sqrt{x} avaliada em x=a^{3} (pensando em x=a^{3}+h). A derivada f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} dá o mesmo resultado quando x=a^{3} e a>0.

Resposta

\displaystyle \text{Se }a>0:\; \frac{1}{2a^{3/2}}
\displaystyle \text{Se }a=0:\; \text{o limite bilateral não existe (pela direita diverge para }+\infty\text{)}ã
\displaystyle \text{Se }a<0:\; \text{a expressão não está definida em reais (raízes não reais).}ããáíã

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