Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
  1. f(x)=\frac{x-1}{|x-1|}\) em \(x=1\) 06) \(f(x)=|x|+\frac{1}{x}\), em \(x=0\) 02) \(f(x)=\frac{x}{x-2}\), em \(x=2\) 07) \(f(x)=\frac{(x-4)(x-5)}{(x-2)(x+3)}\), em \(x=2\) e \(x=-3\) 03) \(f(x)=\frac{1}{x+2}\), em \(x=-2\) 08) \(f(x)=\frac{\left|x^{2}-4 x+10\right|}{\left|x^{2}-2 x+1\right|}\), em \(x=1\) 04) \(f(x)=\tan (x)\), em \(x=\frac{\pi}{2}\) e \(x=-\frac{\pi}{2}\) 09) \(f(x)=\frac{x+x^{2}}{|x|}\), em \(x=0\) 05) \(f(x)= \begin{cases}\frac{1}{1-x} & , \text { se } x<0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0 \\\ x & , \text { se } 0<x<1 \\\\ 2 & , \text { se } x \geq 2\end{cases}
  2. f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x-\pi)}{3(x-\pi)}, & \text { se } x<\pi \\\ \frac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}, & \text { se } \pi \leq x<2 \pi \\\ x^{3}+\pi, & \text { se } 2 \pi \leq x\end{cases}
em \quad x=0 \quad e \quad x=1
em \quad x=\pi \quad e \quad x=2 \pi

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e as informações dadas (sem resolver ainda). Para cada função pede-se os limites laterais no(s) ponto(s) indicados e dizer se existe o limite (i.e., se as duas laterais coincidem e são finitas). Os enunciados são:
  1. [f(x)=\dfrac{x-1}{\lvert x-1\rvert}) em x=1.
  2. f(x)=\dfrac{x}{x-2} em x=2.
  3. f(x)=\dfrac{1}{x+2} em x=-2.
  4. f(x)=\tan(x) em x=\dfrac{\pi}{2} e x=-\dfrac{\pi}{2}.
  5. f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{1-x}, & x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 2, & x\ge 1\end{cases}\] em \[x=0 e x=1.
(Observação: aqui interpretei a última linha como x\ge 1 porque o enunciado pede limite em x=1.)
  1. f(x)=\lvert x\rvert+\dfrac{1}{x} em x=0.
  2. f(x)=\dfrac{(x-4)(x-5)}{(x-2)(x+3)} em x=2 e x=-3.
  3. f(x)=\dfrac{\lvert x^{2}-4x+10\rvert}{\lvert x^{2}-2x+1\rvert} em x=1.
  4. f(x)=\dfrac{x+x^{2}}{\lvert x\rvert} em x=0.
  5. f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(x-\pi)}{3(x-\pi)}, & x<\pi,\\[4pt]\dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}, & \pi\le x<2\pi,\\[4pt] x^{3}+\pi, & x\ge 2\pi\end{cases}\] em \(x=\pi e x=2\pi.
Pronto — agora vamos calcular, passo a passo, as laterais e decidir existência do limite em cada ponto.]

Passo 2

  1. f(x)=\dfrac{x-1}{\lvert x-1\rvert} em x=1.
  • Lembrete sobre valor absoluto: \lvert t\rvert = t se t\ge 0, e \lvert t\rvert = -t se t<0. Aqui t=x-1.
  • Para x>1 temos x-1>0, então \lvert x-1\rvert = x-1. Logo, para x>1 f(x)=\dfrac{x-1}{\lvert x-1\rvert}=\dfrac{x-1}{x-1}=1.Assim \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.
  • Para x<1 temos x-1<0, então \lvert x-1\rvert = -(x-1)=1-x. Assim, para x<1 f(x)=\dfrac{x-1}{1-x}=\dfrac{-(1-x)}{1-x}=-1.Logo \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-1.
  • Como as duas laterais são diferentes ( -1 e 1), o limite em x=1 não existe (não há limite finito único).

Passo 3

  1. f(x)=\dfrac{x}{x-2} em x=2.
  • Aqui o denominador zera em x=2. Quando o denominador tende a 0 e o numerador tende a um número não-nulo, a função diverge (vai para \pm\infty). O sinal depende do sinal do denominador ao aproximar.
  • Para x\to 2^{-} temos x-2<0 pequeno (negativo), e o numerador x\to 2^{+} é positivo (aprox 2). Portanto a fração \dfrac{x}{x-2} tende a -\infty.
  • Para x\to 2^{+} temos x-2>0 pequeno (positivo), numerador positivo, então \dfrac{x}{x-2}\to +\infty.
  • Conclusão: \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty. Não existe limite finito em x=2 (diverge).

Passo 4

  1. f(x)=\dfrac{1}{x+2} em x=-2.
  • Analogia com o caso anterior: denominador x+2 zera em x=-2, numerador é 1 (não nulo).
  • Para x\to -2^{-} (valores um pouco menores que -2), x+2 é negativo e pequeno \Rightarrow 1/(x+2)\to -\infty.
  • Para x\to -2^{+} (valores um pouco maiores que -2), x+2 é positivo e pequeno \Rightarrow 1/(x+2)\to +\infty.
  • Portanto \lim_{x\to -2^{-}}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to -2^{+}}f(x)=+\infty. O limite finito não existe (diverge).

Passo 5

  1. f(x)=\tan(x) em x=\dfrac{\pi}{2} e x=-\dfrac{\pi}{2}.
  • Lembrete: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Os pontos onde \cos x=0 são pontos de descontinuidade vertical de \tan. Em x=\dfrac{\pi}{2} e x=-\dfrac{\pi}{2} temos \cos x=0 e \sin x=\pm 1.
  • Em x=\dfrac{\pi}{2}:
    • Para x\to\frac{\pi}{2}^{-} (pela esquerda), \sin x\to 1 positivo e \cos x\to 0^{+} (pequeno e positivo), então \tan x=\sin x/\cos x\to +\infty.
    • Para x\to\frac{\pi}{2}^{+} (pela direita), \sin x\to 1, \cos x\to 0^{-} (pequeno e negativo) então \tan x\to -\infty.
  • Em x=-\dfrac{\pi}{2}:
    • Para x\to -\frac{\pi}{2}^{-} (pela esquerda), \sin x\to -1 e \cos x\to 0^{-}, portanto \tan x=\sin x/\cos x tem sinal (-)/(-)=+ e magnitude grande: \to +\infty.
    • Para x\to -\frac{\pi}{2}^{+} (pela direita), \sin x\to -1 e \cos x\to 0^{+}, então \tan x\to -\infty.
  • Em ambos os pontos as laterais divergem com sinais opostos, logo o limite finito não existe.

Passo 6

  1. f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{1-x}, & x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 2, & x\ge 1\end{cases}. Limites em x=0 e x=1.
  • Em x=0:
    • Lateral esquerda x\to 0^{-}: usar ramo f(x)=\dfrac{1}{1-x}. Como 1-x\to 1 quando x\to 0, tem \lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1}=1.
    • Lateral direita x\to 0^{+}: usar ramo f(x)=x. Assim \lim_{x\to 0^{+}}x=0.
    • As duas laterais são diferentes ( 1 e 0), logo o limite em 0 não existe. Observação: o valor f(0)=0 coincide com a lateral direita mas isso não é suficiente para existir o limite global.
  • Em x=1:
    • Lateral esquerda x\to 1^{-}: para 0<x<1 temos f(x)=x. Então \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=1.
    • Lateral direita x\to 1^{+}: para x\ge 1 temos f(x)=2. Assim \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=2.
    • Como 1\neq 2, o limite em x=1 não existe.]

Passo 7

  1. f(x)=\lvert x\rvert+\dfrac{1}{x} em x=0.
  • Para x>0: \lvert x\rvert = x, então f(x)=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1+x^{2}}{x}. Ao aproximar x\to 0^{+}, o termo dominante é \dfrac{1}{x}\to +\infty. Logo \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty.
  • Para x<0: \lvert x\rvert = -x, então f(x)=-x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-x^{2}+1}{x}. Mas qualitativamente \dfrac{1}{x} domina e, como x\to 0^{-}, \dfrac{1}{x}\to -\infty. Assim \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty.
  • Laterais com sinais opostos infinita: limite finito não existe (diverge).

Passo 8

  1. f(x)=\dfrac{(x-4)(x-5)}{(x-2)(x+3)} em x=2 e x=-3.
  • Em x=2: numerador (2-4)(2-5)=(-2)(-3)=6\neq 0, denominador zera porque (x-2) se anula. Assim temos assíntota vertical.
    • Para x\to 2^{-}: x-2<0 pequeno, fator x+3 em x\approx2 é positivo ( \approx5), numerador positivo \approx 6. Então quociente \to -\infty.
    • Para x\to 2^{+}: x-2>0 pequeno, denominador positivo, então quociente \to +\infty.
  • Em x=-3: numerador (-3-4)(-3-5)=(-7)(-8)=56>0, e denominador zera pelo fator (x+3).
    • Para x\to -3^{-} (um pouco menor que -3): x+3<0 pequeno, x-2 também é negativo (aprox -5), produto (x-2)(x+3) é (+) pequeno (negativo vezes negativo = positivo); numerador positivo \Rightarrow quociente \to +\infty.
    • Para x\to -3^{+}: x+3>0 pequeno e x-2<0 ( -5), produto denominador é negativo pequeno, numerador positivo \Rightarrow quociente \to -\infty.
  • Em ambos os pontos as laterais divergem (com sinais indicados), logo não há limite finito.

Passo 9

  1. f(x)=\dfrac{\lvert x^{2}-4x+10\rvert}{\lvert x^{2}-2x+1\rvert} em x=1.
  • Primeiro avalie numerador e denominador em x=1:
    • x^{2}-4x+10 em x=1 1-4+10=7 (positivo).
    • x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}, em x=1 0. Como está em valor absoluto, para x\ne 1 \lvert x^{2}-2x+1\rvert=(x-1)^{2}>0.
  • Perto de x=1 o numerador tende a 7 (um número positivo e não nulo) e o denominador tende a 0 por meio de (x-1)^{2} (sempre positivo). Assim a razão tende para +\infty de ambos os lados.
  • Formalmente: \lim_{x\to 1^{\pm}} \dfrac{\lvert x^{2}-4x+10\rvert}{\lvert x^{2}-2x+1\rvert} = \lim_{x\to 1^{\pm}} \dfrac{\text{aprox }7}{(x-1)^{2}} = +\infty.
  • Portanto as duas laterais são +\infty. Não existe limite finito; o limite é divergente para +\infty.

Passo 10

  1. f(x)=\dfrac{x+x^{2}}{\lvert x\rvert} em x=0.
  • Para x>0: \lvert x\rvert = x, então f(x)=\dfrac{x+x^{2}}{x}=1+x \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=1.
  • Para x<0: \lvert x\rvert = -x, então f(x)=\dfrac{x+x^{2}}{-x}=-\bigl(1+x\bigr)\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-1.
  • Como 1\neq -1, o limite em 0 não existe.

Passo 11

  1. f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(x-\pi)}{3(x-\pi)}, & x<\pi,\\[4pt]\dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}, & \pi\le x<2\pi,\\[4pt] x^{3}+\pi, & x\ge 2\pi\end{cases}. Limites em x=\pi e x=2\pi.
  • Em x=\pi:
    • Lateral esquerda x\to\pi^{-}: use t=x-\pi\to 0^{-}. Sabe-se que \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Então \lim_{x\to\pi^{-}}\dfrac{\sin(x-\pi)}{3(x-\pi)}=\dfrac{1}{3}.
    • Lateral direita x\to\pi^{+}: no ramo \dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}, fatorize x^{2}-\pi^{2}=(x-\pi)(x+\pi). Para x\neq\pi simplifica para \dfrac{x+\pi}{6}. Portanto \lim_{x\to\pi^{+}}\dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}=\dfrac{\pi+\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}.
    • Como \dfrac{1}{3}\neq \dfrac{\pi}{3}, o limite em x=\pi não existe.
  • Em x=2\pi:
    • Lateral esquerda x\to 2\pi^{-}: ainda usamos o ramo \dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)} que se simplifica para \dfrac{x+\pi}{6}. Avaliando em x=2\pi (pela continuidade da forma simplificada) dá \lim_{x\to 2\pi^{-}}\dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}=\dfrac{2\pi+\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}.
    • Lateral direita x\to 2\pi^{+}: no ramo x^{3}+\pi temos \lim_{x\to 2\pi^{+}}(x^{3}+\pi)=(2\pi)^{3}+\pi=8\pi^{3}+\pi.
    • Como \dfrac{\pi}{2}\neq 8\pi^{3}+\pi, o limite em x=2\pi não existe.]

Resposta

  1. \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-1,\\ \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1. Limite não existe.
  2. \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty. Limite não existe (diverge).
  3. \lim_{x\to -2^{-}}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to -2^{+}}f(x)=+\infty. Limite não existe (diverge).
  4. x=\dfrac{\pi}{2}:\\ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}\tan x=+\infty,\\ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}\tan x=-\infty. Limite não existe.
    x=-\dfrac{\pi}{2}:\\ \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}^{-}}\tan x=+\infty,\\ \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}^{+}}\tan x=-\infty. Limite não existe.
  5. x=0:\\ \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1,\\ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0. Limite não existe.
    x=1:\\ \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=1,\\ \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=2. Limite não existe.
  6. \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty. Limite não existe (diverge).
  7. x=2:\\ \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty. Limite não existe (diverge).
    x=-3:\\ \lim_{x\to -3^{-}}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to -3^{+}}f(x)=-\infty. Limite não existe (diverge).
  8. \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty. Limite não existe como número finito (diverge para +\infty).
  9. \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-1,\\ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=1. Limite não existe.
  10. x=\pi:\\ \lim_{x\to \pi^{-}}f(x)=\dfrac{1}{3},\\ \lim_{x\to \pi^{+}}f(x)=\dfrac{\pi}{3}. Limite não existe.
    x=2\pi:\\ \lim_{x\to 2\pi^{-}}f(x)=\dfrac{\pi}{2},\\ \lim_{x\to 2\pi^{+}}f(x)=8\pi^{3}+\pi. Limite não existe.

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