Calcular os seguintes limites:
c) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{1-x}}}{x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{1-x}}}{x+5}.
Informações relevantes dadas:
\text{expressão}=\frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{1-x}}}{x+5},\qquad x\to -\infty.ã
Não há mais dados numéricos; devemos avaliar o comportamento da função quando x tende a -\infty.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: fatorar x^{2} dentro da raiz para evidenciar o comportamento quando |x| é grande. Usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b quando a,b\ge 0. Temos
\sqrt{x^{2}+\sqrt{1-x}}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1+\frac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}.
Aqui \sqrt{x^{2}}=|x|. Então
\sqrt{x^{2}+\sqrt{1-x}}=|x|\sqrt{1+\frac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora observamos o sinal de x: como x\to -\infty estamos aproximando por valores negativos grandes, então |x|=-x. Substituindo isso na expressão original,
\frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{1-x}}}{x+5}=\frac{-x\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}}{x+5}.
Fatoramos x no denominador:
x+5 = x\left(1+\frac{5}{x}\right).
Dividindo numerador e denominador por x (note que para x negativo a divisão é legítima), obtemos
\frac{-x\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}}{x+5} = \frac{-x\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}}{x\left(1+\dfrac{5}{x}\right)} = \frac{-\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}}{1+\dfrac{5}{x}}.

Passo 4

Definimos a pequena parcela
s(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}.
Queremos saber o limite de s(x) quando x\to -\infty. Para x grande negativo temos \sqrt{1-x}=\sqrt{1+|x|} que cresce como |x|^{1/2}, enquanto x^{2} cresce como |x|^{2}. Logo a razão tende a zero; mais formalmente, para x\le -1,
\sqrt{1-x}=\sqrt{1+|x|}\le \sqrt{2|x|},
então
0\le s(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}\le \frac{\sqrt{2|x|}}{x^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{|x|^{3/2}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}0.
Portanto s(x)\to 0.

Passo 5

Também claramente \dfrac{5}{x}\to 0 quando x\to -\infty. Assim, na expressão do Passo 3 podemos passar ao limite usando continuidade das funções envolvidas (a raiz quadrada é contínua em 1):
\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{1-x}}{x^{2}}}}{1+\dfrac{5}{x}} = \frac{-\sqrt{1+\lim_{x\to -\infty}s(x)}}{1+\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5}{x}} = \frac{-\sqrt{1+0}}{1+0}.

Passo 6

Calculando o resultado final do limite obtemos
\frac{-\sqrt{1}}{1}=-1.

Resposta

-1

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