- a) Resolva o problema de valor inicial:
b) Qual o intervalo de validade da solução?
c) Qual o limite de
quando
tende a
? O limite depende de
?
c) Qual o limite de
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá uma condição inicial. Vou listar claramente cada pergunta e as informações fornecidas:
- Pergunta (a): Encontrar a solução do problema de valor inicial
-
Pergunta (b): Determinar o intervalo de validade da solução encontrada.
-
Pergunta (c): Calcular
e verificar se esse limite depende de .
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A equação diferencial é de primeira ordem e está escrita de forma explícita como
. - Temos a condição inicial
. - Não há restrição adicional no enunciado sobre
ou sobre .]
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão para aplicar o método adequado. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
Comparando com a equação dada, identificamos
Esse passo é só para organizar: agora sabemos quais são
e
, informação que usaremos para o próximo passo.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (integrating factor) de maneira didática.
- Ideia: se conseguirmos um fator multiplicativo
tal que ao multiplicar a equação toda por o lado esquerdo vire a derivada do produto , então podemos integrar facilmente. Queremos
- Pela regra do produto,
. Para que isso coincida com precisamos que . - Assim
deve satisfazer a equação diferencial simples
- A solução dessa equação é
Ou seja, o fator integrante é
. Isso é a fórmula-chave do método.
Passo 4
Aplicar a fórmula do fator integrante ao nosso
.
Calcular a integral:
mas podemos tomar
porque constantes multiplicativas do fator integrante não alteram a fórmula final. Portanto o fator integrante é
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fica
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Logo podemos escrever
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. Obtemos
onde
é constante de integração. Para calcular a integral do lado direito fazemos uma substituição simples: seja
. Então
, ou seja
. Assim
Incorporando a constante na constante geral
, podemos escrever
Passo 7
Isolar
. Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a solução geral explícita
Aqui
é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para encontrar
.
- Avaliando a solução em
:
- Igualando a
temos
Portanto a solução particular do problema de valor inicial é
Passo 9
Determinar o intervalo de validade da solução.
- Observação: as funções
e são polinomiais, portanto contínuas para todo . - Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem (ou simplesmente pelo fato de termos obtido uma expressão explícita válida para todo
), a solução encontrada é válida em todo o eixo real. - Além disso, a expressão
está bem definida para todo . Logo o intervalo de validade é
Passo 10
Calcular o limite
e verificar dependência em
.
- Partimos da solução encontrada:
- Para
temos , então e portanto
- Assim o termo com a constante multiplicadora desaparece no limite e restará apenas
. Ou seja
- Como o limite não envolve
(o termo com é multiplicado por que tende a zero), concluímos que o limite é independente de .
Resposta
(a)
.\n(b) Intervalo de validade:
.\n(c)
. O limite não depende de
.