Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso:
f(x, y)=\cos \left(\frac{x^{2}}{x \mid y}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\cos\!\left(\frac{x^{2}}{x \mid y}\right).
Pergunta: determinar se f é homogênea e, se for, especificar o grau de homogeneidade. Informação importante: o denominador aparece como x \mid y, que pode ser ambíguo. Eu não tenho certeza absoluta do que o autor quis com o símbolo \mid aqui. A interpretação mais natural (e que faz sentido neste exercício) é que isso representa o produto x y, ou seja, o enunciado pretendia escrever \dfrac{x^{2}}{x y}. Vou assumir essa interpretação e trabalhar com ela; ao final comento rapidamente outras interpretações possíveis e o efeito sobre a homogeneidade. Também é importante notar que a expressão só faz sentido quando o denominador é diferente de zero, logo consideraremos x y \neq 0.

Passo 2

Relembre o que significa função homogênea: uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo escalar \lambda>0 (ou para todo \lambda\neq0, dependendo da definição usada),
f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k} f(x,y)
para todos (x,y) no domínio. Aqui k é um número real que chamamos grau de homogeneidade. A ideia prática para testar homogeneidade é substituir (x,y) por (\lambda x,\lambda y), simplificar e ver se sai um fator \lambda^{k} multiplicando f(x,y). Se sair \lambda^{0}=1, então a função é homogênea de grau 0 (ou seja, invariante por escalamento).

Passo 3

Primeiro simplifico a expressão assumindo que \mid denota produto; com isso
\frac{x^{2}}{x y}=\frac{x^{2}}{x y}=\frac{x}{y},
desde que x\neq0 e y\neq0. Portanto, sob essa interpretação a função fica
f(x,y)=\cos\!\left(\frac{x}{y}\right),
definida para x y \neq 0. Observação: esse passo usa a regra de simplificação de frações — ao dividir x^{2} por x y cancela-se um fator x, ficando x/y.

Passo 4

Agora aplico o teste de homogeneidade: computo f(\lambda x,\lambda y) (aqui \lambda é um escalar positivo; o raciocínio funciona para \lambda\neq0 também, como veremos).
f(\lambda x,\lambda y)=\cos\!\left(\frac{(\lambda x)^{2}}{(\lambda x)(\lambda y)}\right).
Desenvolvendo as potências e produtos:
(\lambda x)^{2}=\lambda^{2}x^{2},\qquad (\lambda x)(\lambda y)=\lambda^{2} x y.
Logo
\frac{(\lambda x)^{2}}{(\lambda x)(\lambda y)}=\frac{\lambda^{2}x^{2}}{\lambda^{2} x y}=\frac{x^{2}}{x y}=\frac{x}{y}.
Portanto
f(\lambda x,\lambda y)=\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)=f(x,y).

Passo 5

Da igualdade f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y) concluímos que
f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{0} f(x,y),
ou seja, o fator de escala é \lambda^{0}=1. Portanto f é homogênea de grau 0 (na região do domínio onde a expressão está definida, isto é, para x y \neq 0).

Passo 6

Observações extras e intuição: uma função que depende apenas da razão x/y (ou de qualquer razão homogênea de grau 0) é sempre homogênea de grau 0, porque ao multiplicar ambos os argumentos por \lambda a razão não muda. Exemplos simples: \dfrac{x}{y}, \dfrac{x^2}{y^2}, \cos(x/y) são invariantes por escalamento e, portanto, grau 0.

Passo 7

Comentário sobre a ambiguidade do símbolo \mid: se o autor tivesse querido \mid y\mid (valor absoluto de y) e a função fosse \cos\!\big(\tfrac{x^{2}}{x|y|}\big)=\cos\!\big(\tfrac{x}{|y|}\big), o mesmo raciocínio mostra homogeneidade de grau 0 para \lambda>0; para \lambda<0 ainda se tem invariância porque o cosseno é uma função par (coseno de -t é igual a coseno de t), então na prática também seria grau 0 para \lambda\neq0. Se \mid tivesse outro significado (por exemplo, “divide”), a expressão não faria sentido como função real no denominador. Por isso a interpretação como produto x y é a mais razoável aqui e conduz à conclusão acima.

Resposta

Homogênea de grau 0 (para x y \neq 0).

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