Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso:
Passo 1
O enunciado dá a função
Pergunta: determinar se
é homogênea e, se for, especificar o grau de homogeneidade. Informação importante: o denominador aparece como
, que pode ser ambíguo. Eu não tenho certeza absoluta do que o autor quis com o símbolo
aqui. A interpretação mais natural (e que faz sentido neste exercício) é que isso representa o produto
, ou seja, o enunciado pretendia escrever
. Vou assumir essa interpretação e trabalhar com ela; ao final comento rapidamente outras interpretações possíveis e o efeito sobre a homogeneidade. Também é importante notar que a expressão só faz sentido quando o denominador é diferente de zero, logo consideraremos
.
Passo 2
Relembre o que significa função homogênea: uma função
é homogênea de grau
se, para todo escalar
(ou para todo
, dependendo da definição usada),
para todos
no domínio. Aqui
é um número real que chamamos grau de homogeneidade. A ideia prática para testar homogeneidade é substituir
por
, simplificar e ver se sai um fator
multiplicando
. Se sair
, então a função é homogênea de grau
(ou seja, invariante por escalamento).
Passo 3
Primeiro simplifico a expressão assumindo que
denota produto; com isso
desde que
e
. Portanto, sob essa interpretação a função fica
definida para
. Observação: esse passo usa a regra de simplificação de frações — ao dividir
por
cancela-se um fator
, ficando
.
Passo 4
Agora aplico o teste de homogeneidade: computo
(aqui
é um escalar positivo; o raciocínio funciona para
também, como veremos).
Desenvolvendo as potências e produtos:
Logo
Portanto
Passo 5
Da igualdade
concluímos que
ou seja, o fator de escala é
. Portanto
é homogênea de grau
(na região do domínio onde a expressão está definida, isto é, para
).
Passo 6
Observações extras e intuição: uma função que depende apenas da razão
(ou de qualquer razão homogênea de grau
) é sempre homogênea de grau
, porque ao multiplicar ambos os argumentos por
a razão não muda. Exemplos simples:
,
,
são invariantes por escalamento e, portanto, grau
.
Passo 7
Comentário sobre a ambiguidade do símbolo
: se o autor tivesse querido
(valor absoluto de
) e a função fosse
, o mesmo raciocínio mostra homogeneidade de grau
para
; para
ainda se tem invariância porque o cosseno é uma função par (coseno de
é igual a coseno de
), então na prática também seria grau
para
. Se
tivesse outro significado (por exemplo, “divide”), a expressão não faria sentido como função real no denominador. Por isso a interpretação como produto
é a mais razoável aqui e conduz à conclusão acima.
Resposta
Homogênea de grau
(para
).