Mostre que a equação lincar
é equivalente a uma equação separável se
.
Passo 1
O enunciado dá a equação linear de primeira ordem
e pede para mostrar que ela é equivalente a uma equação separável no caso em que
. Informações relevantes fornecidas:
- A equação torna-se, sob a condição dada,
. - As funções
e dependem somente da variável . - A incógnita é a função
.
O que se quer provar: que essa equação (quando) pode ser colocada na forma em que as variáveis e ficam separadas (uma dependência só de de um lado e só de do outro), e então resolvida por integração.
Passo 2
Vou explicar o que é uma equação diferencial separável, pois isso é essencial: uma equação é chamada separável se pode ser escrita como
ou seja, o lado direito é um produto de uma função só de
e uma função só de
. Nesse caso podemos rearranjar para colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro:
e então integrar ambos os lados. Essa técnica é a chamada separação de variáveis.
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação quando
: escrevemos a equação dada como
Reescrevendo
como
, temos
Aqui o lado direito é o produto de uma função só de
, que é
, e uma função só de
, que é
. Portanto a equação já está na forma
com
e
. Logo é uma equação separável.
Passo 4
Agora fazemos a separação de variáveis explicitamente. Supondo momentaneamente que
(vamos tratar o caso
depois), dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Expliquei o passo de divisão: dividir por
é válido sempre que
não seja nula; se
for identicamente zero, essa função já é solução da equação original (checaremos isso separadamente).
Passo 5
Integramos os dois lados. A integral de
é
(recorde:
), e a integral do lado direito fica
. Portanto
onde
é a constante arbitrária de integração. Nota: para que a integração faça sentido precisamos que
seja integrável (por exemplo contínua) no intervalo considerado — isso garante que a primitiva exista.
Passo 6
Isolamos
exponenciando ambos os lados. Obtemos
Chamando
(uma constante arbitrária que pode ser positiva, negativa ou zero), chegamos à forma explícita das soluções
Observação sobre o caso
: colocando
nesta fórmula obtemos a solução nula
, portanto ela já está incluída se permitirmos
. Assim não perdemos soluções ao dividir por
antes da integração.
Passo 7
Conclusão: quando
a equação
pode ser escrita como
, que é separável com
. A integração produz a família de soluções
. Logo a equação linear homogênea é equivalente a uma equação separável e resolve-se por separação de variáveis e integração.