Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Passo 1
O enunciado pede o limite duplo quando
e
da expressão
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão depende de duas variáveis
. - O numerador é
. - O denominador é
, que pode ser escrito como . - Ao aproximar
de obtemos uma indeterminação do tipo , pois e também tende a . - O objetivo é determinar se o limite existe e, se existe, calcular o seu valor.
Passo 2
Técnica útil para o numerador: racionalização usando o conjugado. Lembrando a identidade (fácil de verificar):
válida sempre que
. Aplicando com
e
obtemos:
Essa transformação elimina a raiz no numerador e expõe um fator
que vai simplificar com o denominador.
Passo 3
Substituindo a expressão do numerador dentro do quociente e usando
, para
temos:
A simplificação dividindo por
é legítima para todos os pontos com
. Para estudar o limite quando
podemos trabalhar com essa expressão simplificada (já que nos aproximamos da origem por pontos com
).
Passo 4
Agora consideramos a função simplificada
Argumento sobre continuidade: as funções
e
são contínuas perto de
; a soma
é contínua e toma o valor
em
; o produto
é contínuo e, ao se aproximar de
, tende a
. Como o denominador não tende a zero, a função
é contínua numa vizinhança de
. Portanto o limite de
quando
é simplesmente o valor obtido por substituição.
Passo 5
Avaliação do limite por substituição na expressão simplificada:
Como a simplificação foi válida para pontos arbitrariamente próximos de
com
, e a função resultante é contínua no ponto-limite, o limite original existe e tem esse valor.
Passo 6
Verificação rápida por caminhos (para minha tranquilidade e para treinar na prova): ao tomar
e
,
mesmo valor. Se tomar
qualquer função com
, a expressão simplificada também converge ao mesmo valor, o que confirma a existência do limite único.