Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x y+x}

Passo 1

O enunciado pede o limite duplo quando \,x\to0 e \,y\to0 da expressão
\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x y + x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão depende de duas variáveis (x,y).
  • O numerador é \sqrt{x+3}-\sqrt{3}.
  • O denominador é x y + x, que pode ser escrito como x(y+1).
  • Ao aproximar (x,y) de (0,0) obtemos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}, pois \sqrt{0+3}-\sqrt{3}=0 e x(y+1) também tende a 0.
  • O objetivo é determinar se o limite existe e, se existe, calcular o seu valor.

Passo 2

Técnica útil para o numerador: racionalização usando o conjugado. Lembrando a identidade (fácil de verificar):
\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}},
válida sempre que \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq0. Aplicando com a=x+3 e b=3 obtemos:
\sqrt{x+3}-\sqrt{3}=\frac{(x+3)-3}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3}}.
Essa transformação elimina a raiz no numerador e expõe um fator x que vai simplificar com o denominador.

Passo 3

Substituindo a expressão do numerador dentro do quociente e usando x y + x = x(y+1), para x\neq0 temos:
\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x y + x} = \frac{\dfrac{x}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3}}}{x(y+1)} = \frac{1}{\big(\sqrt{x+3}+\sqrt{3}\big)\,(y+1)}.
A simplificação dividindo por x é legítima para todos os pontos com x\neq0. Para estudar o limite quando (x,y)\to(0,0) podemos trabalhar com essa expressão simplificada (já que nos aproximamos da origem por pontos com x\neq0).

Passo 4

Agora consideramos a função simplificada
g(x,y)=\frac{1}{\big(\sqrt{x+3}+\sqrt{3}\big)\,(y+1)}.
Argumento sobre continuidade: as funções (x,y)\mapsto\sqrt{x+3} e (x,y)\mapsto y+1 são contínuas perto de (0,0); a soma \sqrt{x+3}+\sqrt{3} é contínua e toma o valor 2\sqrt{3} em (0,0); o produto \big(\sqrt{x+3}+\sqrt{3}\big)(y+1) é contínuo e, ao se aproximar de (0,0), tende a 2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}\neq0. Como o denominador não tende a zero, a função g é contínua numa vizinhança de (0,0). Portanto o limite de g(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é simplesmente o valor obtido por substituição.

Passo 5

Avaliação do limite por substituição na expressão simplificada:
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}} \frac{1}{\big(\sqrt{x+3}+\sqrt{3}\big)\,(y+1)} = \frac{1}{\big(\sqrt{3}+\sqrt{3}\big)\cdot 1} = \frac{1}{2\sqrt{3}}.
Como a simplificação foi válida para pontos arbitrariamente próximos de (0,0) com x\neq0, e a função resultante é contínua no ponto-limite, o limite original existe e tem esse valor.

Passo 6

Verificação rápida por caminhos (para minha tranquilidade e para treinar na prova): ao tomar y=0 e x\to0,
\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x\cdot 0 + x}=\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3}}\to\frac{1}{2\sqrt{3}},
mesmo valor. Se tomar y qualquer função com y(0)=0, a expressão simplificada também converge ao mesmo valor, o que confirma a existência do limite único.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}

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