Mostrar que os limites seguintes não existem:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede-se para mostrar que o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe.
  • A expressão dada é a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
definida para (x,y)\neq(0,0) (pois o denominador \,x^{2}+y^{2}\, não pode ser zero).
  • A tarefa: demonstrar, com passos claros, que ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos a função pode ter valores distintos, o que impede a existência de um limite único.

Passo 2

O conceito que vou usar (explicado de forma simples).
  • Definição intuitiva: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer maneira possível (qualquer caminho), os valores de f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
  • Critério prático para mostrar que um limite NÃO existe: encontrar dois caminhos que chegam em (0,0) pelos quais os limites de f existam mas sejam diferentes. Se houver pelo menos dois caminhos com limites distintos, então NÃO pode existir um único limite em (0,0).
    Vou aplicar esse critério: escolher caminhos fáceis (retas e/ou usar coordenadas polares) e comparar os limites.

Passo 3

Aproximação pelo eixo x (ou seja, tomar y=0).
  • Substituindo y=0 na expressão temos, para x\neq0,
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
  • Assim, ao aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta y=0, os valores de f são sempre 1 (exceto na origem, onde f não está definida), portanto o limite ao longo dessa reta é
\lim_{x\to 0} f(x,0)=1.

Passo 4

Aproximação pelo eixo y (ou seja, tomar x=0).
  • Substituindo x=0 na expressão temos, para y\neq0,
f(0,y)=\frac{0-y^{2}}{0+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
  • Assim, ao aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta x=0, os valores de f são sempre -1, logo o limite ao longo dessa reta é
\lim_{y\to 0} f(0,y)=-1.

Passo 5

Interpretação dos resultados dos passos anteriores (sem concluir formalmente ainda).
  • Ao aproximar pela reta y=0 encontrou-se limite igual a 1.
  • Ao aproximar pela reta x=0 encontrou-se limite igual a -1.
  • Como os dois valores são diferentes, isso já fornece uma forte indicação de que não há um único número que seja o limite quando (x,y)\to(0,0). Vou reforçar essa ideia com uma visão alternativa mais elegante (coordenadas polares), que mostra de forma direta como o valor depende da direção de aproximação.

Passo 6

Análise em coordenadas polares (explicação didática do método).
  • Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge0 mede a distância ao origem e \theta é a direção (ângulo). Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0 com \theta qualquer.
  • Substituindo na função:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}.
  • Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, simplifica-se o r^{2} e obtém-se
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos(2\theta).
  • Observação importante: o lado direito \cos(2\theta) não depende de r. Isso significa que, ao ir para a origem ( r\to0), o valor da função tende para um valor que depende apenas de \theta, isto é, depende da direção pela qual se aproxima a origem.
  • Exemplos de direções:
    • Para \theta=0 (reta y=0) tem-se \cos(2\cdot 0)=\cos 0=1.
    • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (reta x=0) tem-se \cos(2\cdot\tfrac{\pi}{2})=\cos\pi=-1.
  • Como é possível escolher direções com valores diferentes (por exemplo 1 e -1), o valor que a função toma ao aproximar-se da origem varia com a direção.

Resposta

O limite não existe.

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