Mostrar que os limites seguintes não existem:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pede-se para mostrar que o limite
não existe.
- A expressão dada é a função de duas variáveis
definida para
(pois o denominador
não pode ser zero).
- A tarefa: demonstrar, com passos claros, que ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos a função pode ter valores distintos, o que impede a existência de um limite único.
Passo 2
O conceito que vou usar (explicado de forma simples).
- Definição intuitiva: o limite
existe se, ao aproximar de por qualquer maneira possível (qualquer caminho), os valores de se aproximam do mesmo número . - Critério prático para mostrar que um limite NÃO existe: encontrar dois caminhos que chegam em
pelos quais os limites de existam mas sejam diferentes. Se houver pelo menos dois caminhos com limites distintos, então NÃO pode existir um único limite em .
Vou aplicar esse critério: escolher caminhos fáceis (retas e/ou usar coordenadas polares) e comparar os limites.
Passo 3
Aproximação pelo eixo
(ou seja, tomar
).
- Substituindo
na expressão temos, para ,
- Assim, ao aproximar
de ao longo da reta , os valores de são sempre (exceto na origem, onde não está definida), portanto o limite ao longo dessa reta é
Passo 4
Aproximação pelo eixo
(ou seja, tomar
).
- Substituindo
na expressão temos, para ,
- Assim, ao aproximar
de ao longo da reta , os valores de são sempre , logo o limite ao longo dessa reta é
Passo 5
Interpretação dos resultados dos passos anteriores (sem concluir formalmente ainda).
- Ao aproximar pela reta
encontrou-se limite igual a . - Ao aproximar pela reta
encontrou-se limite igual a . - Como os dois valores são diferentes, isso já fornece uma forte indicação de que não há um único número que seja o limite quando
. Vou reforçar essa ideia com uma visão alternativa mais elegante (coordenadas polares), que mostra de forma direta como o valor depende da direção de aproximação.
Passo 6
Análise em coordenadas polares (explicação didática do método).
- Em coordenadas polares usa-se
e , onde mede a distância ao origem e é a direção (ângulo). Quando corresponde a com qualquer. - Substituindo na função:
- Como
, simplifica-se o e obtém-se
- Observação importante: o lado direito
não depende de . Isso significa que, ao ir para a origem ( ), o valor da função tende para um valor que depende apenas de , isto é, depende da direção pela qual se aproxima a origem. - Exemplos de direções:
- Para
(reta ) tem-se . - Para
(reta ) tem-se .
- Para
- Como é possível escolher direções com valores diferentes (por exemplo
e ), o valor que a função toma ao aproximar-se da origem varia com a direção.
Resposta
O limite não existe.