Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações diretas do enunciado:
- A expressão depende apenas do produto
. - Quando
e temos . - Substituindo
na expressão tanto o numerador quanto o denominador valem . Portanto trata-se de uma indeterminação do tipo . - O que se pede é o valor numérico desse limite quando o par
se aproxima de .
Passo 2
Reduzir o problema a uma variável: como a função depende só de
, faça a substituição
Quando
temos
. Logo o limite pedido é equivalente ao limite de uma função de uma variável:
(Isto é válido porque qualquer sequência
gera
, então o comportamento da função é determinado pelo comportamento de
perto de
.)
Passo 3
Agora calcular o limite univariado
Observação: é novamente
, então podemos aplicar uma técnica de cálculo de limites de funções reais. Uma forma direta é usar a Regra de L’Hôpital (válida porque numerador e denominador são diferenciáveis em
próximo de
e tendem a
).
Calcule as derivadas em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Pela Regra de L’Hôpital:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida:
Calcule o expoente:
Logo
Passo 5
Comentário didático rápido (intuição): para potências gerais
com
vale a razão
pois é a derivada de
em
. Usando isso, pode-se reescrever
o que dá a mesma resposta de modo talvez mais conceitual.