Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 1}} \frac{\sqrt[3]{x y}-1}{\sqrt{x y}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{\substack{x\to 1\y\to 1}} \frac{\sqrt[3]{x y}-1}{\sqrt{x y}-1}.
Informações e observações diretas do enunciado:
  • A expressão depende apenas do produto xy.
  • Quando x\to1 e y\to1 temos xy\to1.
  • Substituindo xy=1 na expressão tanto o numerador quanto o denominador valem 0. Portanto trata-se de uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.
  • O que se pede é o valor numérico desse limite quando o par (x,y) se aproxima de (1,1).

Passo 2

Reduzir o problema a uma variável: como a função depende só de xy, faça a substituição
t=xy.
Quando (x,y)\to(1,1) temos t\to1. Logo o limite pedido é equivalente ao limite de uma função de uma variável:
\lim_{\substack{x\to1\y\to1}} \frac{\sqrt[3]{xy}-1}{\sqrt{xy}-1} = \lim_{t\to1} \frac{t^{1/3}-1}{t^{1/2}-1}.
(Isto é válido porque qualquer sequência (x_n,y_n)\to(1,1) gera t_n=x_ny_n\to1, então o comportamento da função é determinado pelo comportamento de t perto de 1.)

Passo 3

Agora calcular o limite univariado
L=\lim_{t\to1} \frac{t^{1/3}-1}{t^{1/2}-1}.
Observação: é novamente 0/0, então podemos aplicar uma técnica de cálculo de limites de funções reais. Uma forma direta é usar a Regra de L’Hôpital (válida porque numerador e denominador são diferenciáveis em t próximo de 1 e tendem a 0).
Calcule as derivadas em relação a t:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{1/3}-1\bigr)=\dfrac{1}{3}t^{-2/3}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{1/2}-1\bigr)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}.
Pela Regra de L’Hôpital:
L=\lim_{t\to1}\frac{\dfrac{1}{3}t^{-2/3}}{\dfrac{1}{2}t^{-1/2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
\frac{\dfrac{1}{3}t^{-2/3}}{\dfrac{1}{2}t^{-1/2}} = \frac{1/3}{1/2}\cdot t^{-2/3 -(-1/2)} = \frac{2}{3}\cdot t^{-2/3+1/2}.
Calcule o expoente:
-\,\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2} = -\tfrac{4}{6}+\tfrac{3}{6} = -\tfrac{1}{6}.
Logo
L=\frac{2}{3}\cdot \lim_{t\to1} t^{-1/6} = \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}.

Passo 5

Comentário didático rápido (intuição): para potências gerais t^r com t\to1 vale a razão
\lim_{t\to1}\frac{t^{r}-1}{t-1}=r,
pois é a derivada de t^r em t=1. Usando isso, pode-se reescrever
\frac{t^{1/3}-1}{t^{1/2}-1} = \frac{\dfrac{t^{1/3}-1}{t-1}}{\dfrac{t^{1/2}-1}{t-1}} \to \frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3},
o que dá a mesma resposta de modo talvez mais conceitual.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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