Calcular os seguintes limites de funçöes vetoriais de uma variável.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro limites de funções vetoriais de uma variável. As informações dadas são:
a) Calcular
.
b) Calcular .
c) Calcular .
d) Calcular .
b) Calcular
c) Calcular
d) Calcular
Esses são os quatro limites que precisamos encontrar; a variável de cada limite e a expressão vetorial correspondente estão acima.
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicada devagarzinho): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Ou seja, se
então
desde que cada limite das componentes exista. Isso torna o problema mais simples: tratamos cada componente como um limite de função real. Além disso, funções usuais como polinômios,
,
(no domínio adequado) e constantes são contínuas, então o limite no ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto (quando não há indeterminação).
Passo 3
Resolvendo a) passo a passo. A função vetorial é
Componentes:
-
. Como é contínua, . -
. Polinômio é contínuo, então . -
. Constante, então .
Juntando componente a componente,
Passo 4
Resolvendo b). A expressão é
Vamos manipular a componente em
. Primeiro fatoramos o numerador:
Reconhecemos
. Portanto
Substituindo no quociente:
desde que
(mas estamos considerando o limite para
, então essa simplificação é válida para a vizinhança de
excluindo
). Agora calculamos o limite:
A componente em
é constante
, então seu limite é
. Portanto
Passo 5
Resolvendo c). A expressão é
Distribuímos
nas componentes:
Agora fatoramos
. Assim,
E
para
. Portanto, para
próximo de
(exceto em
exatamente),
Agora tomamos o limite
:
Passo 6
Resolvendo d). A função é
A componente em
dá uma indeterminação do tipo
ao substituir
. Para resolvê-la fazemos a técnica do conjugado (um truque muito útil): multiplicar numerador e denominador por
:
valendo para
. Agora fazemos o limite:
As outras componentes são diretas:
-
. -
.
Portanto
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)