Calcular os seguintes limites de funçöes vetoriais de uma variável.
a) \lim _{\vec{t} \rightarrow \underset{\sim}{r}}\left(\cos \vec{\imath} \vec{\imath}+t^{2} \vec{j}-5 \vec{k}\right)
b) \lim _{t \rightarrow-2}\left(\frac{t^{3}+4 t^{2}+4 t}{(t+2)(t-3)} \vec{i}+\vec{j}\right)
c) \lim _{t \rightarrow 2} \frac{1}{t-2}\left[\left(t^{2}-4\right) \vec{i}+(t-2) \vec{j}\right]
d) \lim _{t \rightarrow 1}\left[\frac{\sqrt{t}-1}{t-1} \vec{i}+(t-1) \vec{j}+(t+1) \vec{k}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites de funções vetoriais de uma variável. As informações dadas são:
a) Calcular \displaystyle \lim_{t\rightarrow r}\big(\cos t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}-5\,\vec{k}\big).
b) Calcular \displaystyle \lim_{t\rightarrow -2}\left(\frac{t^{3}+4t^{2}+4t}{(t+2)(t-3)}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right).
c) Calcular \displaystyle \lim_{t\rightarrow 2}\frac{1}{t-2}\big[(t^{2}-4)\,\vec{\imath}+(t-2)\,\vec{\jmath}\big].
d) Calcular \displaystyle \lim_{t\rightarrow 1}\left[\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}\,\vec{\imath}+(t-1)\,\vec{\jmath}+(t+1)\,\vec{k}\right].
Esses são os quatro limites que precisamos encontrar; a variável de cada limite e a expressão vetorial correspondente estão acima.

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicada devagarzinho): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Ou seja, se
\vec{F}(t)=F_{1}(t)\,\vec{\imath}+F_{2}(t)\,\vec{\jmath}+F_{3}(t)\,\vec{k},
então
\lim_{t\to a}\vec{F}(t)=\Big(\lim_{t\to a}F_{1}(t)\Big)\vec{\imath}+\Big(\lim_{t\to a}F_{2}(t)\Big)\vec{\jmath}+\Big(\lim_{t\to a}F_{3}(t)\Big)\vec{k},
desde que cada limite das componentes exista. Isso torna o problema mais simples: tratamos cada componente como um limite de função real. Além disso, funções usuais como polinômios, \cos t, \sqrt{t} (no domínio adequado) e constantes são contínuas, então o limite no ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto (quando não há indeterminação).

Passo 3

Resolvendo a) passo a passo. A função vetorial é
\vec{F}(t)=\cos t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}-5\,\vec{k}.
Componentes:
  • F_{1}(t)=\cos t. Como \cos t é contínua, \lim_{t\to r}\cos t=\cos r.
  • F_{2}(t)=t^{2}. Polinômio é contínuo, então \lim_{t\to r}t^{2}=r^{2}.
  • F_{3}(t)=-5. Constante, então \lim_{t\to r}-5=-5.
Juntando componente a componente,
\lim_{t\to r}\vec{F}(t)=\cos r\,\vec{\imath}+r^{2}\,\vec{\jmath}-5\,\vec{k}.

Passo 4

Resolvendo b). A expressão é
\vec{G}(t)=\frac{t^{3}+4t^{2}+4t}{(t+2)(t-3)}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}.
Vamos manipular a componente em \vec{\imath}. Primeiro fatoramos o numerador:
t^{3}+4t^{2}+4t = t(t^{2}+4t+4).
Reconhecemos t^{2}+4t+4=(t+2)^{2}. Portanto
t^{3}+4t^{2}+4t = t(t+2)^{2}.
Substituindo no quociente:
\frac{t^{3}+4t^{2}+4t}{(t+2)(t-3)}=\frac{t(t+2)^{2}}{(t+2)(t-3)}=\frac{t(t+2)}{t-3},
desde que t\neq -2 (mas estamos considerando o limite para t\to -2, então essa simplificação é válida para a vizinhança de -2 excluindo -2). Agora calculamos o limite:
\lim_{t\to -2}\frac{t(t+2)}{t-3}=\frac{(-2)\cdot 0}{-5}=0.
A componente em \vec{\jmath} é constante 1, então seu limite é 1. Portanto
\lim_{t\to -2}\vec{G}(t)=0\cdot\vec{\imath}+1\cdot\vec{\jmath}=\vec{\jmath}.

Passo 5

Resolvendo c). A expressão é
\vec{H}(t)=\frac{1}{t-2}\big[(t^{2}-4)\,\vec{\imath}+(t-2)\,\vec{\jmath}\big].
Distribuímos \dfrac{1}{t-2} nas componentes:
\vec{H}(t)=\frac{t^{2}-4}{t-2}\,\vec{\imath}+\frac{t-2}{t-2}\,\vec{\jmath}.
Agora fatoramos t^{2}-4=(t-2)(t+2). Assim,
\frac{t^{2}-4}{t-2}=\frac{(t-2)(t+2)}{t-2}=t+2\quad\text{(para }t\neq 2\text{)}.
E \dfrac{t-2}{t-2}=1 para t\neq 2. Portanto, para t próximo de 2 (exceto em 2 exatamente),
\vec{H}(t)=(t+2)\,\vec{\imath}+1\cdot\vec{\jmath}.
Agora tomamos o limite t\to 2:
\lim_{t\to 2}\vec{H}(t)= (2+2)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}=4\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}.

Passo 6

Resolvendo d). A função é
\vec{K}(t)=\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}\,\vec{\imath}+(t-1)\,\vec{\jmath}+(t+1)\,\vec{k}.
A componente em \vec{\imath} dá uma indeterminação do tipo 0/0 ao substituir t=1. Para resolvê-la fazemos a técnica do conjugado (um truque muito útil): multiplicar numerador e denominador por \sqrt{t}+1:
\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}=\frac{(\sqrt{t}-1)(\sqrt{t}+1)}{(t-1)(\sqrt{t}+1)}=\frac{t-1}{(t-1)(\sqrt{t}+1)}=\frac{1}{\sqrt{t}+1},
valendo para t\neq 1. Agora fazemos o limite:
\lim_{t\to 1}\frac{1}{\sqrt{t}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
As outras componentes são diretas:
  • \lim_{t\to 1}(t-1)=0.
  • \lim_{t\to 1}(t+1)=2.
Portanto
\lim_{t\to 1}\vec{K}(t)=\frac{1}{2}\,\vec{\imath}+0\cdot\vec{\jmath}+2\,\vec{k}=\frac{1}{2}\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}.

Resposta

a) \cos r\,\vec{\imath}+r^{2}\,\vec{\jmath}-5\,\vec{k}
b) \vec{\jmath}
c) 4\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}
d) \tfrac{1}{2}\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}

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