1. Sejam \vec{f}(t)=\vec{a} t+\vec{b} t^{2} e
    \vec{g}(t)=\vec{i}+\operatorname{sen} t \vec{j}+\cos t \vec{k}, \operatorname{com} \vec{a}=\vec{i}+\vec{j} e \vec{b}=2 \vec{i}-\vec{j} ; 0 \leq t \leq 2 \pi.
Calcular:
a) \vec{f}(t)+\vec{g}(t)
b) \vec{f}(t) \cdot \vec{g}(t)
c) \vec{f}(t) \times \vec{g}(t)
d) \vec{a} \cdot \vec{f}(t)+\vec{b} \cdot \vec{g}(t)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções vetoriais e vetores constantes (copiando do enunciado):
\vec{f}(t)=\vec{a}\,t+\vec{b}\,t^{2} (assumo o e do enunciado como um caractere sobrando),
\vec{g}(t)=\vec{i}+\sin t\,\vec{j}+\cos t\,\vec{k},
com \vec{a}=\vec{i}+\vec{j} e \vec{b}=2\vec{i}-\vec{j},
para 0\le t\le 2\pi.
As perguntas são:
a) calcular \vec{f}(t)+\vec{g}(t);
b) calcular \vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t);
c) calcular \vec{f}(t)\times\vec{g}(t);
d) calcular \vec{a}\cdot\vec{f}(t)+\vec{b}\cdot\vec{g}(t).
Informações relevantes que usaremos (todas extraídas do enunciado):
\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{b}=2\vec{i}-\vec{j},
\vec{g}(t)=\vec{i}+\sin t\,\vec{j}+\cos t\,\vec{k},
\vec{f}(t)=\vec{a}t+\vec{b}t^{2}.

Passo 2

Vamos escrever as componentes de \vec{a} e \vec{b} explicitamente (isso facilita tudo):
\vec{a}=(1,1,0) porque \vec{a}=\vec{i}+\vec{j}.
\vec{b}=(2,-1,0) porque \vec{b}=2\vec{i}-\vec{j}.
Aqui a convenção é que um vetor (x,y,z) corresponde a x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.

Passo 3

Agora escrevemos \vec{f}(t) em componentes usando \vec{f}(t)=\vec{a}t+\vec{b}t^{2}.
Multiplicando componente a componente:
\vec{a}t=(t,t,0) e \vec{b}t^{2}=(2t^{2},-t^{2},0).
Somando as componentes:
\vec{f}(t)=(t+2t^{2},\;t-t^{2},\;0).
Também escrevemos \vec{g}(t) em componentes (já está quase pronto):
\vec{g}(t)=(1,\;\sin t,\;\cos t).

Passo 4

(a) Explicando a operação: soma de vetores é feita componente a componente. Então
somamos as componentes de \vec{f}(t) e \vec{g}(t):
\vec{f}(t)+\vec{g}(t)=(t+2t^{2}+1,\;t-t^{2}+\sin t,\;0+\cos t).
Escrevendo em notação cartesiana com base vetorial:
\vec{f}(t)+\vec{g}(t)=(t+2t^{2}+1)\vec{i}+(t-t^{2}+\sin t)\vec{j}+(\cos t)\vec{k}.

Passo 5

(b) Explicando o produto escalar: dado \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z.
Aplicando a \vec{f}(t) e \vec{g}(t):
\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)=(t+2t^{2})\cdot 1+(t-t^{2})\cdot\sin t+0\cdot\cos t.
Simplificando:
\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)=t+2t^{2}+(t-t^{2})\sin t.
Dica prática para prova: alinhe as componentes e multiplique termo a termo, some no final — é mecânico.

Passo 6

(c) Explicando o produto vetorial: para \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem componentes
(u_y v_z-u_z v_y,\;u_z v_x-u_x v_z,\;u_x v_y-u_y v_x).
Ele produz um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do produto vetorial a \vec{f}(t) e \vec{g}(t).
Usamos f_x=t+2t^{2},\;f_y=t-t^{2},\;f_z=0 e g_x=1,\;g_y=\sin t,\;g_z=\cos t.
Calculando componente a componente:
componente x:
f_y g_z - f_z g_y=(t-t^{2})\cos t - 0 = (t-t^{2})\cos t.
componente y:
f_z g_x - f_x g_z=0\cdot 1 - (t+2t^{2})\cos t=-(t+2t^{2})\cos t.
componente z:
f_x g_y - f_y g_x=(t+2t^{2})\sin t - (t-t^{2})\cdot 1.
Organizando a última:
(t+2t^{2})\sin t - t + t^{2}.
Portanto
\vec{f}(t)\times\vec{g}(t)=\big((t-t^{2})\cos t,\;-(t+2t^{2})\cos t,\;(t+2t^{2})\sin t - t + t^{2}\big).
Ou em base \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
\vec{f}(t)\times\vec{g}(t)=(t-t^{2})\cos t\,\vec{i}-(t+2t^{2})\cos t\,\vec{j}+\big((t+2t^{2})\sin t - t + t^{2}\big)\vec{k}.

Passo 8

(d) Queremos \vec{a}\cdot\vec{f}(t)+\vec{b}\cdot\vec{g}(t).
Primeiro calcule \vec{a}\cdot\vec{f}(t). Como \vec{a}=(1,1,0) e \vec{f}(t)=(t+2t^{2},t-t^{2},0),
\vec{a}\cdot\vec{f}(t)=1\cdot (t+2t^{2})+1\cdot (t-t^{2})+0\cdot 0.
Somando:
\vec{a}\cdot\vec{f}(t)=t+2t^{2}+t-t^{2}=2t+t^{2}.
Agora \vec{b}\cdot\vec{g}(t). Como \vec{b}=(2,-1,0) e \vec{g}(t)=(1,\sin t,\cos t),
\vec{b}\cdot\vec{g}(t)=2\cdot 1 +(-1)\cdot \sin t + 0\cdot\cos t = 2-\sin t.
Somando os dois resultados:
\vec{a}\cdot\vec{f}(t)+\vec{b}\cdot\vec{g}(t)=(2t+t^{2})+(2-\sin t)=t^{2}+2t+2-\sin t.

Resposta

a) \vec{f}(t)+\vec{g}(t)=(t+2t^{2}+1)\vec{i}+(t-t^{2}+\sin t)\vec{j}+(\cos t)\vec{k}\n
b) \vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)=t+2t^{2}+(t-t^{2})\sin t\n
c) \vec{f}(t)\times\vec{g}(t)=(t-t^{2})\cos t\,\vec{i}-(t+2t^{2})\cos t\,\vec{j}+\big((t+2t^{2})\sin t - t + t^{2}\big)\vec{k}\n
d) \vec{a}\cdot\vec{f}(t)+\vec{b}\cdot\vec{g}(t)=t^{2}+2t+2-\sin t

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