- Sejam
e
.
Calcular:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções vetoriais e vetores constantes (copiando do enunciado):
(assumo o
do enunciado como um caractere sobrando),
,
com e
,
para .
com
para
As perguntas são:
a) calcular ;
b) calcular ;
c) calcular ;
d) calcular .
a) calcular
b) calcular
c) calcular
d) calcular
Informações relevantes que usaremos (todas extraídas do enunciado):
,
,
,
.
Passo 2
Vamos escrever as componentes de
e
explicitamente (isso facilita tudo):
porque
.
porque
.
Aqui a convenção é que um vetor corresponde a
.
Aqui a convenção é que um vetor
Passo 3
Agora escrevemos
em componentes usando
.
Multiplicando componente a componente:
e
.
Somando as componentes:
Multiplicando componente a componente:
Somando as componentes:
Também escrevemos
em componentes (já está quase pronto):
Passo 4
(a) Explicando a operação: soma de vetores é feita componente a componente. Então
somamos as componentes de e
:
somamos as componentes de
Escrevendo em notação cartesiana com base vetorial:
Passo 5
(b) Explicando o produto escalar: dado
e
,
Aplicando a
e
:
Simplificando:
Dica prática para prova: alinhe as componentes e multiplique termo a termo, some no final — é mecânico.
Passo 6
(c) Explicando o produto vetorial: para
e
,
o produto vetorial tem componentes
o produto vetorial
Ele produz um vetor perpendicular a
e
.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do produto vetorial a
e
.
Usamos e
.
Calculando componente a componente:
Usamos
Calculando componente a componente:
componente
:
componente
:
componente
:
Organizando a última:
Portanto
Ou em base
:
Passo 8
(d) Queremos
.
Primeiro calcule . Como
e
,
Primeiro calcule
Somando:
Agora
. Como
e
,
Somando os dois resultados:
Resposta
a)
\n
b) \n
c) \n
d)
b)
c)
d)