\lim _{t \rightarrow 0}\left[\frac{2 i-1}{t} \vec{i}+\left(2^{t}-1\right) \vec{j}+t \vec{k}\right].

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to 0}\left[\frac{2^{t}-1}{t}\,\vec{i}+\left(2^{t}-1\right)\,\vec{j}+t\,\vec{k}\right].
Informações dadas:
  • O vetor é composto por três componentes escalares multiplicando os vetores unitários \vec{i}, \vec{j} e \vec{k}.
  • As componentes são \frac{2^{t}-1}{t} (na direção \vec{i}), \;2^{t}-1 (na direção \vec{j}) e \;t (na direção \vec{k}).
  • A variável tende para \,t\to 0.
    A pergunta clara: qual é o limite do vetor quando t se aproxima de 0?

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Ou seja, se
\vec{v}(t)=v_1(t)\,\vec{i}+v_2(t)\,\vec{j}+v_3(t)\,\vec{k},
então
\lim_{t\to 0}\vec{v}(t)=\left(\lim_{t\to 0}v_1(t)\right)\vec{i}+\left(\lim_{t\to 0}v_2(t)\right)\vec{j}+\left(\lim_{t\to 0}v_3(t)\right)\vec{k},
desde que cada limite escalar exista. Isso é porque \vec{i},\vec{j},\vec{k} são vetores fixos e a convergência é verificada apenas nas coordenadas escalares. Então vamos calcular os três limites escalares.

Passo 3

Cálculo da componente na direção \vec{k}:
\lim_{t\to 0} t = 0.
Explicação curta: é a identidade básica do limite, t tende a 0 portanto a própria função t tende a 0.

Passo 4

Cálculo da componente na direção \vec{j}:
\lim_{t\to 0}(2^{t}-1).
Usamos que a função exponencial 2^{t}=e^{t\ln 2} é contínua. Como 2^{0}=1, temos
\lim_{t\to 0}2^{t}=2^{0}=1,
logo
\lim_{t\to 0}(2^{t}-1)=1-1=0.
Explicação intuitiva: 2^{t} aproxima-se de 1 quando t vai para 0, então a diferença com 1 vai para 0.

Passo 5

Cálculo da componente na direção \vec{i}:
\lim_{t\to 0}\frac{2^{t}-1}{t}.
Aqui é útil reescrever 2^{t} como e^{t\ln 2}. Então
\frac{2^{t}-1}{t}=\frac{e^{t\ln 2}-1}{t}.
Faça a substituição u=t\ln 2. Quando t\to 0 temos u\to 0, e t=\dfrac{u}{\ln 2}. Então
\frac{e^{t\ln 2}-1}{t}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot \ln 2.
Conhecemos o limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{2^{t}-1}{t}=\ln 2.
Outro modo de entender: essa razão é justamente a derivada de 2^{t} avaliada em t=0; a derivada é 2^{t}\ln 2, em t=0 \ln 2.

Passo 6

Juntando os três resultados componente a componente:
  • componente \vec{i}: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{2^{t}-1}{t}=\ln 2,
  • componente \vec{j}: \displaystyle \lim_{t\to 0}(2^{t}-1)=0,
  • componente \vec{k}: \displaystyle \lim_{t\to 0}t=0.
Logo o limite do vetor é
\ln 2\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}=\ln 2\,\vec{i}.

Resposta

\ln 2\,\vec{i}

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