.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- O vetor é composto por três componentes escalares multiplicando os vetores unitários
, e . - As componentes são
(na direção ), (na direção ) e (na direção ). - A variável tende para
.
A pergunta clara: qual é o limite do vetor quandose aproxima de ?
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Ou seja, se
então
desde que cada limite escalar exista. Isso é porque
são vetores fixos e a convergência é verificada apenas nas coordenadas escalares. Então vamos calcular os três limites escalares.
Passo 3
Cálculo da componente na direção
:
Explicação curta: é a identidade básica do limite,
tende a
portanto a própria função
tende a
.
Passo 4
Cálculo da componente na direção
:
Usamos que a função exponencial
é contínua. Como
, temos
logo
Explicação intuitiva:
aproxima-se de
quando
vai para
, então a diferença com
vai para
.
Passo 5
Cálculo da componente na direção
:
Aqui é útil reescrever
como
. Então
Faça a substituição
. Quando
temos
, e
. Então
Conhecemos o limite padrão
Portanto
Outro modo de entender: essa razão é justamente a derivada de
avaliada em
; a derivada é
, em
dá
.
Passo 6
Juntando os três resultados componente a componente:
- componente
: , - componente
: , - componente
: .
Logo o limite do vetor é