Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
e . - Para que essas raízes estejam definidas como números reais, é necessário que
e . Portanto o limite faz sentido (no sentido usual de duas mãos) quando ; se só faz sentido a aproximação por com (limite pela direita). - O que se quer é o valor numérico do limite em função de
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão escrevendo as raízes como potências. Note que
Então o quociente é
Para manipular essa diferença de potências é útil fazer a substituição
Com isso temos
e
, então o numerador fica
. Usando a identidade da diferença de cubos
temos
Passo 3
Agora relacionamos
com
. Observe que
Como
, segue
Substituindo isso no quociente obtemos
Note que a expressão à direita já não tem
explicitamente; depende de
apenas através de
.
Passo 4
Tomamos o limite quando
. Quando
(com
), temos
. Como as operações envolvidas são contínuas, basta substituir
na expressão obtida:
Lembrando que
, concluímos que o limite vale
(para
).
Passo 5
Comentário sobre
: se
a expressão original só está definida para
. Para
temos
cujo limite quando
é
. Isso coincide com a fórmula
avaliada em
, embora para
o limite seja apenas pela direita no contexto real.