Calcular os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(x+h)^{3}}-\sqrt{x^{3}}}{h}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^3}-\sqrt{x^3}}{h}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve \sqrt{(x+h)^3} e \sqrt{x^3}.
  • Para que essas raízes estejam definidas como números reais, é necessário que x+h\ge 0 e x\ge 0. Portanto o limite faz sentido (no sentido usual de duas mãos) quando x>0; se x=0 só faz sentido a aproximação por h com h\ge0 (limite pela direita).
  • O que se quer é o valor numérico do limite em função de x.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão escrevendo as raízes como potências. Note que
\sqrt{(x+h)^3}=(x+h)^{3/2},\qquad \sqrt{x^3}=x^{3/2}.
Então o quociente é
\frac{(x+h)^{3/2}-x^{3/2}}{h}.
Para manipular essa diferença de potências é útil fazer a substituição
a=(x+h)^{1/2},\qquad b=x^{1/2}.
Com isso temos a^3=(x+h)^{3/2} e b^3=x^{3/2}, então o numerador fica a^3-b^3. Usando a identidade da diferença de cubos
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),
temos
\frac{(x+h)^{3/2}-x^{3/2}}{h}=\frac{a^3-b^3}{h}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{h}.

Passo 3

Agora relacionamos a-b com h. Observe que
a^2-b^2=(x+h)-x=h.
Como a^2-b^2=(a-b)(a+b), segue
a-b=\frac{h}{a+b}.
Substituindo isso no quociente obtemos
\frac{(x+h)^{3/2}-x^{3/2}}{h}=\frac{\dfrac{h}{a+b}\,(a^2+ab+b^2)}{h}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}.
Note que a expressão à direita já não tem h explicitamente; depende de h apenas através de a=(x+h)^{1/2}.

Passo 4

Tomamos o limite quando h\to 0. Quando h\to 0 (com x+h\ge0), temos a=(x+h)^{1/2}\to b=x^{1/2}. Como as operações envolvidas são contínuas, basta substituir a=b na expressão obtida:
\lim_{h\to 0}\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}=\frac{b^2+b\cdot b+b^2}{b+b}=\frac{3b^2}{2b}=\frac{3}{2}b.
Lembrando que b=x^{1/2}=\sqrt{x}, concluímos que o limite vale \dfrac{3}{2}\sqrt{x} (para x>0).

Passo 5

Comentário sobre x=0: se x=0 a expressão original só está definida para h\ge0. Para x=0 temos
\frac{\sqrt{(0+h)^3}-\sqrt{0^3}}{h}=\frac{h^{3/2}}{h}=h^{1/2},
cujo limite quando h\to0^+ é 0. Isso coincide com a fórmula \dfrac{3}{2}\sqrt{x} avaliada em x=0, embora para x=0 o limite seja apenas pela direita no contexto real.

Resposta

\dfrac{3}{2}\sqrt{x} para x>0
0 para x=0 (limite pela direita)

Exercícios relacionados