Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes:
-
é um parâmetro fixo (ainda não especificado se é ou não). - A expressão é a diferença quociente da função
no ponto . - A resposta pode depender do valor de
(por exemplo, pode ser diferente para e para ).
Passo 2
Interpretação útil (conceito): essa expressão é exatamente a definição do derivado de uma função
no ponto
, se esse derivado existir. Em geral, para uma função
,
quando esse limite existe.
Aqui podemos definir
Então o limite que queremos é
, se o derivado existir. Vou calcular
usando regras básicas de derivação (regra da cadeia e regra da potência), explicando cada passo.
Passo 3
Regra da cadeia e regra da potência (mini-aula): se
com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então
No nosso caso tome
e
. Então:
-
. Aqui usei a regra da potência: a derivada de é . -
.
Aplicando a cadeia para
obtemos, para
,
Agora simplifico passo a passo:
Observação sobre
: como
, pode escrever
. Então
Podemos também reescrever isolando o sinal:
onde
é o sinal de
. Em formas mais elementares:
- Se
, então . - Se
, então .
Esse cálculo é válido quando
, porque nas simplificações dividimos por potências de
.
Passo 4
Caso
(tratar separadamente): substitua
na expressão do limite:
Note que
. Então a expressão fica
Estudo das duas limites laterais:
- Para
: - Para
: . Como o numerador é positivo e o denominador é negativo,
Portanto o limite não existe em
: as duas faces divergem com sinais opostos (não há limite finito nem
comum). Em termos práticos, o quociente cresce em módulo sem limite quando
.
Passo 5
Interpretação final e dica para prova: a expressão é o derivado de
. Para
a derivada existe e é dada pela fórmula obtida pela cadeia. Em
a derivada não existe (tende a infinito com sinais opostos), então o limite não existe.