Calcular os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{(x+h)^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}}}{h}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}.
Informações relevantes:
  • x é um parâmetro fixo (ainda não especificado se é 0 ou não).
  • A expressão é a diferença quociente da função x\mapsto\sqrt[3]{x^2} no ponto x.
  • A resposta pode depender do valor de x (por exemplo, pode ser diferente para x=0 e para x\neq0).

Passo 2

Interpretação útil (conceito): essa expressão é exatamente a definição do derivado de uma função f no ponto x, se esse derivado existir. Em geral, para uma função f,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe.
Aqui podemos definir
f(t)=\sqrt[3]{t^2}=(t^2)^{1/3}.
Então o limite que queremos é f'(x), se o derivado existir. Vou calcular f'(x) usando regras básicas de derivação (regra da cadeia e regra da potência), explicando cada passo.

Passo 3

Regra da cadeia e regra da potência (mini-aula): se f(t)=g(u(t)) com g diferenciável em u(x) e u diferenciável em x, então
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso tome g(u)=u^{1/3} e u(t)=t^2. Então:
  • g'(u)=\dfrac{1}{3}u^{-2/3}. Aqui usei a regra da potência: a derivada de u^{\alpha} é \alpha u^{\alpha-1}.
  • u'(t)=2t.
Aplicando a cadeia para f(t)=g(u(t)) obtemos, para t=x,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{3}(x^2)^{-2/3}\cdot 2x.
Agora simplifico passo a passo:
f'(x)=\frac{2x}{3(x^2)^{2/3}}.
Observação sobre (x^2)^{2/3}: como x^2\ge 0, pode escrever (x^2)^{2/3}=|x|^{4/3}. Então
f'(x)=\frac{2x}{3|x|^{4/3}}.
Podemos também reescrever isolando o sinal:
f'(x)=\frac{2}{3}\,\mathrm{sgn}(x)\,|x|^{-1/3}\qquad\text{para }x\neq 0,
onde \mathrm{sgn}(x)=x/|x| é o sinal de x. Em formas mais elementares:
  • Se x>0, então f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}.
  • Se x<0, então f'(x)=-\dfrac{2}{3}(-x)^{-1/3}.
Esse cálculo é válido quando x\neq 0, porque nas simplificações dividimos por potências de x.

Passo 4

Caso x=0 (tratar separadamente): substitua x=0 na expressão do limite:
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{(0+h)^2}-\sqrt[3]{0^2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}.
Note que \sqrt[3]{h^2}=(|h|)^{2/3}. Então a expressão fica
\frac{(|h|)^{2/3}}{h}.
Estudo das duas limites laterais:
  • Para h\to0^+: \dfrac{(|h|)^{2/3}}{h}=\dfrac{h^{2/3}}{h}=h^{-1/3}\to +\infty.
  • Para h\to0^-: \dfrac{(|h|)^{2/3}}{h}=\dfrac{(-h)^{2/3}}{h}=\dfrac{(-h)^{2/3}}{h}. Como o numerador é positivo e o denominador é negativo, \dfrac{(|h|)^{2/3}}{h}\to -\infty.
Portanto o limite não existe em x=0: as duas faces divergem com sinais opostos (não há limite finito nem \pm\infty comum). Em termos práticos, o quociente cresce em módulo sem limite quando h\to0.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova: a expressão é o derivado de f(t)=\sqrt[3]{t^2}. Para x\neq 0 a derivada existe e é dada pela fórmula obtida pela cadeia. Em x=0 a derivada não existe (tende a infinito com sinais opostos), então o limite não existe.

Resposta

\displaystyle \text{Para }x\neq 0:\\ \frac{2x}{3(x^2)^{2/3}}=\frac{2}{3}\,\mathrm{sgn}(x)\,|x|^{-1/3}.\n
\displaystyle \text{Para }x=0:\\ \text{o limite não existe (diverge).}ã

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