Calcular os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\tan (x+h)-\tan (x)}{h}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\left[\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é o quociente incremental de \tan em torno de x com incremento h.
  • O limite é tomado quando h tende a 0.
    O que se pede: encontrar o valor numérico (em função de x) desse limite.

Passo 2

Escolha do método: vou usar uma identidade trigonométrica simples para expressar \tan(x+h)-\tan x em termos de \sin e \cos, de modo a aparecer o fator clássico \dfrac{\sin h}{h}. Esse método é direto e usa limites básicos como \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1 e a continuidade de \cos.
Primeiro, lembro (e mostro) a identidade
\tan u-\tan v=\frac{\sin(u-v)}{\cos u\cos v}.
Prova curta da identidade: usar \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e colocar no lado esquerdo:
\tan u-\tan v=\frac{\sin u}{\cos u}-\frac{\sin v}{\cos v} =\frac{\sin u\cos v-\cos u\sin v}{\cos u\cos v} =\frac{\sin(u-v)}{\cos u\cos v}.
Então a identidade está demonstrada.

Passo 3

Aplicando a identidade com u=x+h e v=x, obtemos
\tan(x+h)-\tan x=\frac{\sin\big((x+h)-x\big)}{\cos(x+h)\cos x}=\frac{\sin h}{\cos(x+h)\cos x}.
Substituindo na razão dada,
\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} =\frac{1}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos(x+h)\cos x} =\left(\frac{\sin h}{h}\right)\cdot\frac{1}{\cos(x+h)\cos x}.

Passo 4

Agora vou avaliar o limite produto quando h\to0. Uso dois fatos básicos:
  1. O limite clássico
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.
Pequena justificativa (squeeze): para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale \sin h< h < \tan h=\dfrac{\sin h}{\cos h}. Multiplicando por \cos h>0 obtém-se \sin h\cos h < h\cos h < \sin h. Dividindo por h\sin h>0 \cos h < \dfrac{\sin h}{h} < 1. Fazendo h\to0^+ e usando \cos h\to1 segue \dfrac{\sin h}{h}\to1. O caso h\to0^- é análogo, então o limite existe e vale 1.
  1. Continuidade do cosseno: \displaystyle\lim_{h\to0}\cos(x+h)=\cos x. Portanto
\lim_{h\to0}\frac{1}{\cos(x+h)\cos x}=\frac{1}{\cos x\cos x}=\frac{1}{\cos^2 x},
pois \cos x é um número fixo (assumindo \cos x\neq0; discutimos abaixo o caso \cos x=0).

Passo 5

Aplicando a propriedade de limites do produto (quando ambos os limites existem), temos
\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos(x+h)\cos x}\right) =\left(\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}\right)\cdot\left(\lim_{h\to0}\frac{1}{\cos(x+h)\cos x}\right) =1\cdot\frac{1}{\cos^2 x}.
Observação sobre \cos x=0: se \cos x=0 então \tan x não está definida (tinha-se originalmente a diferença de tans em torno desse x indefinido), então o limite faz sentido somente para x onde \tan x é definida; para esses x temos \cos x\neq0 e o cálculo acima vale sem problemas.

Passo 6

Interpretação final: o valor do limite é
\frac{1}{\cos^2 x},
que também é comumente escrito como \operatorname{sec}^2 x. Isso é, aliás, a derivada de \tan x em x — aqui chegamos a isso diretamente pelo limite incremental.

Resposta

\operatorname{sec}^2 x

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