Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é o quociente incremental de
em torno de com incremento . - O limite é tomado quando
tende a .
O que se pede: encontrar o valor numérico (em função de) desse limite.
Passo 2
Escolha do método: vou usar uma identidade trigonométrica simples para expressar
em termos de
e
, de modo a aparecer o fator clássico
. Esse método é direto e usa limites básicos como
e a continuidade de
.
Primeiro, lembro (e mostro) a identidade
Prova curta da identidade: usar
e colocar no lado esquerdo:
Então a identidade está demonstrada.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, obtemos
Substituindo na razão dada,
Passo 4
Agora vou avaliar o limite produto quando
. Uso dois fatos básicos:
- O limite clássico
Pequena justificativa (squeeze): para
vale
. Multiplicando por
obtém-se
. Dividindo por
dá
. Fazendo
e usando
segue
. O caso
é análogo, então o limite existe e vale
.
- Continuidade do cosseno:
. Portanto
pois
é um número fixo (assumindo
; discutimos abaixo o caso
).
Passo 5
Aplicando a propriedade de limites do produto (quando ambos os limites existem), temos
Observação sobre
: se
então
não está definida (tinha-se originalmente a diferença de tans em torno desse
indefinido), então o limite faz sentido somente para
onde
é definida; para esses
temos
e o cálculo acima vale sem problemas.
Passo 6
Interpretação final: o valor do limite é
que também é comumente escrito como
. Isso é, aliás, a derivada de
em
— aqui chegamos a isso diretamente pelo limite incremental.