Calcular os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}\right].
  • A variável x é um parâmetro fixo (qualquer número real). A variável que tende a zero é h.
  • O numerador é a diferença entre \operatorname{sen}(x+h) e \operatorname{sen}(x); a expressão tem a forma clássica de quociente de diferença (que aparece na definição de derivada).
  • Não há outros dados numéricos: o objetivo é manipular a expressão usando identidades trigonométricas e limites trigonométricos conhecidos.

Passo 2

Usar a fórmula de adição do seno para reescrever \operatorname{sen}(x+h).
A identidade de adição é
\operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h.
Substituindo na fração dada obtemos
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\frac{\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h-\operatorname{sen}x}{h}.

Passo 3

Fatorando termos para separar em parcelas mais simples.
Colocando \operatorname{sen}x em evidência no primeiro par, temos
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\frac{\operatorname{sen}x(\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen}h}{h}.
Agora separamos a fração em duas parcelas:
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\operatorname{sen}x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h}.
Aqui \operatorname{sen}x e \cos x são constantes em relação a h, pois x está fixo.

Passo 4

Propriedade de limites usada: o limite da soma é a soma dos limites (quando eles existem), e constantes podem ser colocadas fora do limite. Assim
\lim_{h\to 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}\right] =\operatorname{sen}x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h},
desde que os dois limites à direita existam. Vamos calcular esses limites fundamentais.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.
Rascunho da prova (argumento clássico por desigualdades/geometria):
Para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\operatorname{sen}h < h < \tan h.
Dividindo tudo por \,h\operatorname{sen}h>0, obtemos
\cos h < \frac{\operatorname{sen}h}{h} < 1.
Ao fazer h\to0^+ temos \cos h\to1, então, pelo princípio do confronto (squeeze), \displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1. Para h<0 a função \frac{\operatorname{sen}h}{h} é par, logo o limite à esquerda coincide. Conclui-se que
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Usamos a identidade \cos h-1=-2\operatorname{sen}^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big). Então
\frac{\cos h-1}{h} =-2\frac{\operatorname{sen}^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{h} =-2\left(\frac{\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{(h/2)^2}{h}.
Simplificando \dfrac{(h/2)^2}{h}=\dfrac{h}{4}, obtemos
\frac{\cos h-1}{h} =-\frac{h}{2}\left(\frac{\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2.
Quando h\to0 a razão \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}\to1 (pelo passo anterior aplicado a h/2), portanto o produto acima tende a 0. Assim
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 7

Voltar à expressão original e completar o limite.
Substituindo os limites encontrados no Passo 4:
\lim_{h\to 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}\right] =\operatorname{sen}x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x.

Resposta

\cos x

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