Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - A variável
é um parâmetro fixo (qualquer número real). A variável que tende a zero é . - O numerador é a diferença entre
e ; a expressão tem a forma clássica de quociente de diferença (que aparece na definição de derivada). - Não há outros dados numéricos: o objetivo é manipular a expressão usando identidades trigonométricas e limites trigonométricos conhecidos.
Passo 2
Usar a fórmula de adição do seno para reescrever
.
A identidade de adição é
Substituindo na fração dada obtemos
Passo 3
Fatorando termos para separar em parcelas mais simples.
Colocando
em evidência no primeiro par, temos
Agora separamos a fração em duas parcelas:
Aqui
e
são constantes em relação a
, pois
está fixo.
Passo 4
Propriedade de limites usada: o limite da soma é a soma dos limites (quando eles existem), e constantes podem ser colocadas fora do limite. Assim
desde que os dois limites à direita existam. Vamos calcular esses limites fundamentais.
Passo 5
Calcular
.
Rascunho da prova (argumento clássico por desigualdades/geometria):
Para
vale a desigualdade geométrica
Dividindo tudo por
, obtemos
Ao fazer
temos
, então, pelo princípio do confronto (squeeze),
. Para
a função
é par, logo o limite à esquerda coincide. Conclui-se que
Passo 6
Calcular
.
Usamos a identidade
. Então
Simplificando
, obtemos
Quando
a razão
(pelo passo anterior aplicado a
), portanto o produto acima tende a
. Assim
Passo 7
Voltar à expressão original e completar o limite.
Substituindo os limites encontrados no Passo 4: