Calcular os seguintes limites:
\lim _{u \rightarrow-2}\left[\frac{u^{3}+4 u^{2}+4 u}{(u+2)(u-3)}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{u \to -2}\left[\frac{u^{3}+4u^{2}+4u}{(u+2)(u-3)}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é a função racional \dfrac{u^{3}+4u^{2}+4u}{(u+2)(u-3)}.
  • O ponto de interesse para o limite é u \to -2.
    O objetivo é encontrar o valor do limite quando u se aproxima de -2.

Passo 2

Por que não podemos simplesmente substituir u=-2 na expressão original? Vamos testar mentalmente: ao substituir u=-2 no denominador temos (u+2)(u-3)\bigr|_{u=-2} = ( -2+2)(-2-3) = 0\cdot(-5) = 0. No numerador, se ao substituir também damos 0, teremos uma forma indeterminada 0/0. Formas 0/0 exigem análise algébrica (ou outro método) porque não permitem decidir o limite apenas substituindo. Portanto precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador passo a passo. Começamos observando um fator comum u:
u^{3}+4u^{2}+4u = u\bigl(u^{2}+4u+4\bigr).
Agora fatoramos o quadrado perfeito u^{2}+4u+4:
u^{2}+4u+4 = (u+2)^{2}.
Logo o numerador fatorado é
u^{3}+4u^{2}+4u = u(u+2)^{2}.

Passo 4

Substituindo essa fatoração na fração original obtemos, para u\neq -2,
\frac{u^{3}+4u^{2}+4u}{(u+2)(u-3)} = \frac{u(u+2)^{2}}{(u+2)(u-3)}.
Agora podemos cancelar um fator (u+2) no numerador com o do denominador (essa cancelamento só é válido para u\neq -2; isso remove a possível descontinuidade removível):
\frac{u(u+2)^{2}}{(u+2)(u-3)} = \frac{u(u+2)}{u-3}, \qquad (u\neq -2).

Passo 5

Explicação teórica curta e intuitiva: quando uma expressão racional apresenta a forma indeterminada 0/0 em um ponto, frequentemente existe um fator comum que pode ser cancelado, transformando a expressão numa função igual à original para u\neq ponto, mas que é contínua naquele ponto. O limite quando u se aproxima do ponto é então o valor da função simplificada nesse ponto. Aqui fizemos exatamente isso ao cancelar (u+2).

Passo 6

Agora que temos a forma simplificada \dfrac{u(u+2)}{u-3}, podemos avaliar o limite substituindo u=-2 sem problema (já não há divisão por zero):
\lim_{u \to -2}\frac{u(u+2)}{u-3} = \frac{(-2)\bigl(-2+2\bigr)}{-2-3}.
Calculemos cada parte:
-2+2 = 0, \qquad -2-3 = -5.
Portanto o numerador é (-2)\cdot 0 = 0 e o denominador é -5, logo a fração vale 0.

Passo 7

Interpretação final rápida: a presença do fator (u+2) em quadrado no numerador cria uma descontinuidade removível em u=-2. Após remover esse fator, a função fica contínua em -2 e o limite é simplesmente o valor da função simplificada no ponto, que resultou em 0. Força aí — limites com cancelamento ficam mais fáceis com prática!

Resposta

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