Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}-5 x-3}{3 x^{4}+9 x^{3}+9 x^{2}+3 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -1} \frac{4x^{4}+9x^{3}+3x^{2}-5x-3}{3x^{4}+9x^{3}+9x^{2}+3x}.
Informações dadas:
  • É um limite de uma função racional (quociente de polinômios).
  • O ponto de aproximação é x\to -1.
O que se quer: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=-1 diretamente para ver se já dá um valor definido. Calcular o numerador em x=-1:
4(-1)^{4}+9(-1)^{3}+3(-1)^{2}-5(-1)-3 =4-9+3+5-3=0.
Calcular o denominador em x=-1:
3(-1)^{4}+9(-1)^{3}+9(-1)^{2}+3(-1) =3-9+9-3=0.
Como ambos dão zero, a expressão vale \tfrac{0}{0} na substituição direta — isso é uma forma indeterminada. Quando ocorre \tfrac{0}{0} normalmente precisamos simplificar a expressão (fatorando e cancelando fatores comuns) para avaliar o limite.

Passo 3

Estratégia escolhida: fatorar numerador e denominador procurando um fator (x+1) (porque a substituição x=-1 zera ambos). Vou usar divisão sintética (método prático para dividir um polinômio por x - r) para dividir por x+1 (equivalente a r=-1) e descobrir a multiplicidade do fator (x+1).
Lembrete rápido sobre divisão sintética: para dividir um polinômio com coeficientes a_n,a_{n-1},\dots,a_0 por x-r, coloca-se r à esquerda e vai-se trazendo coeficientes e multiplicando sucessivamente. O resto será o último número.

Passo 4

Aplicando divisão sintética no numerador 4x^{4}+9x^{3}+3x^{2}-5x-3 com r=-1.
Coeficientes: 4,\;9,\;3,\;-5,\;-3.
Procedimento:
  • Desço 4.
  • Multiplico por -1: -4. Somo a 9: 5.
  • Multiplico 5 por -1: -5. Somo a 3: -2.
  • Multiplico -2 por -1: 2. Somo a -5: -3.
  • Multiplico -3 por -1: 3. Somo a -3: 0 (resto).
Resultado da divisão: quociente com coeficientes 4,\;5,\;-2,\;-3, ou seja o polinômio 4x^{3}+5x^{2}-2x-3, e resto 0. Portanto
4x^{4}+9x^{3}+3x^{2}-5x-3=(x+1)\bigl(4x^{3}+5x^{2}-2x-3\bigr).

Passo 5

Testar se x=-1 é raiz também do 4x^{3}+5x^{2}-2x-3 (às vezes a raiz se repete). Dividindo novamente esse quociente por x+1 (outra divisão sintética com r=-1):
Coeficientes do cúbico: 4,\;5,\;-2,\;-3.
Procedimento:
  • Desço 4.
  • Multiplico por -1: -4. Somo a 5: 1.
  • Multiplico 1 por -1: -1. Somo a -2: -3.
  • Multiplico -3 por -1: 3. Somo a -3: 0 (resto).
Quociente agora é 4x^{2}+1x-3 e resto 0. Logo
4x^{3}+5x^{2}-2x-3=(x+1)(4x^{2}+x-3),
e, combinando,
4x^{4}+9x^{3}+3x^{2}-5x-3=(x+1)^{2}(4x^{2}+x-3).

Passo 6

Fatorar o quadrático 4x^{2}+x-3. Usar fórmula de raízes ou fatoração direta. Calcula-se o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot4\cdot(-3)=1+48=49.
Como \Delta=49=(7)^{2}, as raízes são
x=\frac{-1\pm7}{2\cdot4}=\frac{-1\pm7}{8}.
Isso dá x=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} e x=\frac{-8}{8}=-1. Ou seja, x=-1 é raiz novamente, e a fatoração é
4x^{2}+x-3=(x+1)(4x-3).
Portanto o numerador fica
4x^{4}+9x^{3}+3x^{2}-5x-3=(x+1)^{3}(4x-3).

Passo 7

Agora fatorar o denominador 3x^{4}+9x^{3}+9x^{2}+3x. Primeiro, observo um fator comum 3x:
3x^{4}+9x^{3}+9x^{2}+3x=3x\bigl(x^{3}+3x^{2}+3x+1\bigr).
Mas também posso testar diretamente divisão por x+1 (já que denominador zera em x=-1). Usando divisão sintética com coeficientes 3,\;9,\;9,\;3 e r=-1:
Procedimento:
  • Desço 3.
  • Multiplico por -1: -3. Somo a 9: 6.
  • Multiplico 6 por -1: -6. Somo a 9: 3.
  • Multiplico 3 por -1: -3. Somo a 3: 0 (resto).
Quociente é 3x^{2}+6x+3. Esse quadrático é 3(x^{2}+2x+1)=3(x+1)^{2}. Assim
3x^{4}+9x^{3}+9x^{2}+3x=(x+1)\cdot 3(x+1)^{2}=3(x+1)^{3}.

Passo 8

Colocando as fatorações juntas:
\frac{4x^{4}+9x^{3}+3x^{2}-5x-3}{3x^{4}+9x^{3}+9x^{2}+3x} =\frac{(x+1)^{3}(4x-3)}{3(x+1)^{3}}.
Para x\neq -1 pode-se cancelar (x+1)^{3}, ficando a função equivalente
\frac{4x-3}{3}.
O cancelamento é válido para avaliar o limite — lembrando que limite só se importa com valores arbitrariamente próximos de -1, não necessariamente com o valor exatamente em -1. Agora a função simplificada é contínua, então basta substituir x=-1:
\lim_{x\to -1}\frac{4x-3}{3}=\frac{4(-1)-3}{3}=\frac{-4-3}{3}=\frac{-7}{3}.

Resposta

-\dfrac{7}{3}

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