Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- É um limite de uma função racional (quociente de polinômios).
- O ponto de aproximação é
.
O que se quer: o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente para ver se já dá um valor definido. Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Como ambos dão zero, a expressão vale
na substituição direta — isso é uma forma indeterminada. Quando ocorre
normalmente precisamos simplificar a expressão (fatorando e cancelando fatores comuns) para avaliar o limite.
Passo 3
Estratégia escolhida: fatorar numerador e denominador procurando um fator
(porque a substituição
zera ambos). Vou usar divisão sintética (método prático para dividir um polinômio por
) para dividir por
(equivalente a
) e descobrir a multiplicidade do fator
.
Lembrete rápido sobre divisão sintética: para dividir um polinômio com coeficientes
por
, coloca-se
à esquerda e vai-se trazendo coeficientes e multiplicando sucessivamente. O resto será o último número.
Passo 4
Aplicando divisão sintética no numerador
com
.
Coeficientes:
.
Procedimento:
- Desço
. - Multiplico por
: . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : (resto).
Resultado da divisão: quociente com coeficientes
, ou seja o polinômio
, e resto
. Portanto
Passo 5
Testar se
é raiz também do
(às vezes a raiz se repete). Dividindo novamente esse quociente por
(outra divisão sintética com
):
Coeficientes do cúbico:
.
Procedimento:
- Desço
. - Multiplico por
: . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : (resto).
Quociente agora é
e resto
. Logo
e, combinando,
Passo 6
Fatorar o quadrático
. Usar fórmula de raízes ou fatoração direta. Calcula-se o discriminante:
Como
, as raízes são
Isso dá
e
. Ou seja,
é raiz novamente, e a fatoração é
Portanto o numerador fica
Passo 7
Agora fatorar o denominador
. Primeiro, observo um fator comum
:
Mas também posso testar diretamente divisão por
(já que denominador zera em
). Usando divisão sintética com coeficientes
e
:
Procedimento:
- Desço
. - Multiplico por
: . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : (resto).
Quociente é
. Esse quadrático é
. Assim
Passo 8
Colocando as fatorações juntas:
Para
pode-se cancelar
, ficando a função equivalente
O cancelamento é válido para avaliar o limite — lembrando que limite só se importa com valores arbitrariamente próximos de
, não necessariamente com o valor exatamente em
. Agora a função simplificada é contínua, então basta substituir
: