Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{3}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional composta por frações.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=0.
  • Não há outras informações externas (como gráficos).

Passo 2

Vamos avaliar o que acontece se apenas substituirmos x=0 diretamente (isso serve para verificar se a expressão dá um valor finito imediatamente ou se é uma forma indeterminada). Substituindo:
\frac{1}{0}\left(\frac{1}{0-3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{0}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{0}\cdot 0.
Isso é um caso do tipo “infinito vezes zero”, que é uma forma indeterminada — não podemos concluir o valor do limite apenas com essa substituição. Portanto precisamos manipular algebricamente a expressão para simplificá-la antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a soma dentro dos parênteses, somando as frações \dfrac{1}{x-3} e \dfrac{1}{3}. Para somar frações fazemos o mínimo comum denominador, que é 3(x-3). Então:
\frac{1}{x-3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3(x-3)}+\frac{x-3}{3(x-3)}=\frac{3+x-3}{3(x-3)}=\frac{x}{3(x-3)}.
Observação didática: ao somar frações, coloca-se cada numerador sobre o denominador comum e soma-se os numeradores; aqui os termos +3 e -3 se cancelam, sobrando x no numerador.

Passo 4

Substituindo essa soma simplificada na expressão original:
\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{3(x-3)}.
Agora podemos efetuar a simplificação x no numerador com x no denominador. Essa simplificação é válida porque, ao calcular limite quando x\to 0, trabalhamos com valores de x diferentes de zero (o ponto x=0 é apenas o alvo da aproximação, não um valor que precisamos que a expressão esteja definida). Após cancelar x obtemos:
\frac{1}{3(x-3)}.

Passo 5

A expressão simplificada \dfrac{1}{3(x-3)} é uma função racional que é contínua em x=0 (o denominador em x=0 é 3(0-3)=-9\neq 0). Para funções contínuas no ponto de interesse, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Então avaliamos em x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{3(x-3)}=\frac{1}{3(0-3)}=\frac{1}{-9}=-\frac{1}{9}.
Breve comentário didático: a continuidade de uma função racional p(x)/q(x) num ponto a exige q(a)\neq 0; se isso ocorre, basta substituir x=a para obter o limite.

Passo 6

Conclusão final do processo: o limite existe e vale -\dfrac{1}{9}. Dá para reparar que a indeterminação inicial foi resolvida ao reduzir a expressão e cancelar o fator comum x.

Resposta

-\dfrac{1}{9}

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