Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional composta por frações.
- O ponto onde a variável se aproxima é
. - Não há outras informações externas (como gráficos).
Passo 2
Vamos avaliar o que acontece se apenas substituirmos
diretamente (isso serve para verificar se a expressão dá um valor finito imediatamente ou se é uma forma indeterminada). Substituindo:
Isso é um caso do tipo “infinito vezes zero”, que é uma forma indeterminada — não podemos concluir o valor do limite apenas com essa substituição. Portanto precisamos manipular algebricamente a expressão para simplificá-la antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar a soma dentro dos parênteses, somando as frações
e
. Para somar frações fazemos o mínimo comum denominador, que é
. Então:
Observação didática: ao somar frações, coloca-se cada numerador sobre o denominador comum e soma-se os numeradores; aqui os termos
e
se cancelam, sobrando
no numerador.
Passo 4
Substituindo essa soma simplificada na expressão original:
Agora podemos efetuar a simplificação
no numerador com
no denominador. Essa simplificação é válida porque, ao calcular limite quando
, trabalhamos com valores de
diferentes de zero (o ponto
é apenas o alvo da aproximação, não um valor que precisamos que a expressão esteja definida). Após cancelar
obtemos:
Passo 5
A expressão simplificada
é uma função racional que é contínua em
(o denominador em
é
). Para funções contínuas no ponto de interesse, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Então avaliamos em
:
Breve comentário didático: a continuidade de uma função racional
num ponto
exige
; se isso ocorre, basta substituir
para obter o limite.
Passo 6
Conclusão final do processo: o limite existe e vale
. Dá para reparar que a indeterminação inicial foi resolvida ao reduzir a expressão e cancelar o fator comum
.