Determine uma equaçăo vetorial que representa a curva obtida pela interseção do cilindro
e a superficie
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma equação vetorial que represente a curva formada pela interseção do cilindro $ x^{2} - y^{2} = 4 $ e da superfície $ z = x y $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas. Precisaremos expressar as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ em função de um parâmetro, geralmente representado por $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação do cilindro: $ x^{2} - y^{2} = 4
\sinh
\cosh $) são úteis aqui.
Sabemos que:
Para ajustar à nossa equação do cilindro, multiplicamos ambos os lados por 4:
Comparando com $ x^{2} - y^{2} = 4 $, podemos associar:
Passo 3
Agora que temos $ x $ e $ y $ em termos de $ t $, vamos encontrar $ z $. A equação da superfície é $ z = x y $. Substituindo $ x $ e $ y $ pelas expressões que encontramos:
Podemos simplificar usando uma identidade hiperbólica:
Portanto:
Passo 4
Agora, temos todas as coordenadas em termos de $ t $:
Podemos então escrever a equação vetorial da curva como:
Isso representa a posição de qualquer ponto na curva para um dado valor de $ t $.
Resposta
A equação vetorial da curva de interseção é: