Determine uma equaçăo vetorial que representa a curva obtida pela interseção do cilindro x^2-y^2=4 e a superficie z=x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma equação vetorial que represente a curva formada pela interseção do cilindro $ x^{2} - y^{2} = 4 $ e da superfície $ z = x y $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas. Precisaremos expressar as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ em função de um parâmetro, geralmente representado por $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação do cilindro: $ x^{2} - y^{2} = 4 x^2 - y^2 = 4 éçãéçãçõóãàçõééçõóó \sinh sinh ó \cosh $) são úteis aqui.
Sabemos que:
cosh
Para ajustar à nossa equação do cilindro, multiplicamos ambos os lados por 4:
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
Comparando com $ x^{2} - y^{2} = 4 $, podemos associar:
4cosh^2(t) - 4sinh^2(t) = 4

Passo 3

Agora que temos $ x $ e $ y $ em termos de $ t $, vamos encontrar $ z $. A equação da superfície é $ z = x y $. Substituindo $ x $ e $ y $ pelas expressões que encontramos:
x
Podemos simplificar usando uma identidade hiperbólica:
y
Portanto:
t

Passo 4

Agora, temos todas as coordenadas em termos de $ t $:
t
Podemos então escrever a equação vetorial da curva como:
x(t) = 2cosh(t) y(t) = 2sinh(t) z(t) = 2sinh(2t)
Isso representa a posição de qualquer ponto na curva para um dado valor de $ t $.

Resposta

A equação vetorial da curva de interseção é:
r(t) = lang<=, 2,cosh(t),; 2,sinh(t),; 2,sinh(2t) ,rang<=

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