Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{x^{2}+3 x-1}{x^{2}+2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}\right].
Informações dadas:
  • A função considerada é a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}.
  • O ponto em que o limite deve ser calculado é x=0.
  • Não há outras condições ou restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Ideia chave e justificativa teórica (passo-a-passo didático):
  • Um limite \lim_{x\to a} f(x) pergunta qual valor f(x) se aproxima quando x fica cada vez mais perto de a.
  • Uma propriedade muito útil: se g e h são funções com limites finitos em a e \lim_{x\to a} h(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\lim_{x\to a} g(x)}{\lim_{x\to a} h(x)}.
  • Funções polinomiais são contínuas em todo ponto, logo seus limites ao se aproximar de a são obtidos por substituição direta (x\mapsto a).
  • Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em pontos onde o denominador não se anula. Assim, se ao avaliar o denominador em a obtém-se um número diferente de zero, pode-se calcular o limite pela substituição direta.

Passo 3

Calcular o limite do numerador separadamente, usando substituição direta (polinômio):
\lim_{x\to 0}(x^{2}+3x-1)=0^{2}+3\cdot 0-1=-1.
Expliquei: como x^{2}+3x-1 é polinômio, basta pôr x=0.

Passo 4

Calcular o limite do denominador separadamente, usando substituição direta (polinômio):
\lim_{x\to 0}(x^{2}+2)=0^{2}+2=2.
Observação importante: o limite do denominador é \;2\neq 0\;, portanto a propriedade do quociente pode ser aplicada.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente (visto no Passo 2): como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, temos
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}=\frac{\lim_{x\to 0}(x^{2}+3x-1)}{\lim_{x\to 0}(x^{2}+2)}=\frac{-1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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