Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é a função racional
. - O ponto em que o limite deve ser calculado é
. - Não há outras condições ou restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Ideia chave e justificativa teórica (passo-a-passo didático):
- Um limite
pergunta qual valor se aproxima quando fica cada vez mais perto de . - Uma propriedade muito útil: se
e são funções com limites finitos em e , então
- Funções polinomiais são contínuas em todo ponto, logo seus limites ao se aproximar de
são obtidos por substituição direta . - Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em pontos onde o denominador não se anula. Assim, se ao avaliar o denominador em
obtém-se um número diferente de zero, pode-se calcular o limite pela substituição direta.
Passo 3
Calcular o limite do numerador separadamente, usando substituição direta (polinômio):
Expliquei: como
é polinômio, basta pôr
.
Passo 4
Calcular o limite do denominador separadamente, usando substituição direta (polinômio):
Observação importante: o limite do denominador é
, portanto a propriedade do quociente pode ser aplicada.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente (visto no Passo 2): como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, temos