Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}}\left[\frac{4 x^{2}-1}{2 x-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede claramente o cálculo do seguinte limite:
\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left[\frac{4x^{2}-1}{2x-1}\right].
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que podemos checar imediatamente):
  • A expressão dentro do colchete é \dfrac{4x^{2}-1}{2x-1}.
  • No ponto x=\dfrac{1}{2} o numerador vale 4\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-1 e o denominador vale 2\left(\dfrac{1}{2}\right)-1. Ambos podem ser avaliados para verificar se a expressão está definida no ponto.

Passo 2

Avaliando numerador e denominador em x=\dfrac{1}{2} para ver se a expressão está definida:
4\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-1 = 4\cdot\dfrac{1}{4}-1 = 1-1 = 0,
2\left(\dfrac{1}{2}\right)-1 = 1-1 = 0.
Portanto, ao substituir diretamente obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos afirmar o valor do limite por substituição direta — é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica padrão para tratar indeterminações \dfrac{0}{0} é fatorar e cancelar fatores comuns. Vamos fatorar o numerador. Observando que 4x^{2}-1 é uma diferença de quadrados:
4x^{2}-1 = (2x)^{2}-1^{2} = (2x-1)(2x+1).

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original e simplificando (válido para x\neq\dfrac{1}{2}, onde o fator 2x-1 não é zero):
\frac{4x^{2}-1}{2x-1} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{2x-1} = 2x+1 \qquad (x\neq\tfrac{1}{2}).
Assim, na vizinhança de x=\dfrac{1}{2} (exceto no próprio ponto), a função original coincide com a função 2x+1.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de limites: se duas funções coincidem em todo um entorno de um ponto exceto possivelmente no próprio ponto, elas têm o mesmo limite naquele ponto. A função simplificada 2x+1 é polinomial e, portanto, contínua em todo lugar. Logo:
\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{4x^{2}-1}{2x-1}=\lim_{x\to\frac{1}{2}}(2x+1).
Como 2x+1 é contínua, basta substituir x=\dfrac{1}{2}:
\lim_{x\to\frac{1}{2}}(2x+1)=2\cdot\frac{1}{2}+1=1+1=2.

Passo 6

Resumo didático rápido (pra você lembrar na prova): quando tiver \dfrac{0}{0}, tente fatorar numerador e denominador para cancelar o fator responsável pela indeterminação; depois avalie o limite da função simplificada, que normalmente é contínua e permite substituição direta. Exemplo similar: \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1} usa a mesma ideia e dá 2.

Resposta

2

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