Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede claramente o cálculo do seguinte limite:
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que podemos checar imediatamente):
- A expressão dentro do colchete é
. - No ponto
o numerador vale e o denominador vale . Ambos podem ser avaliados para verificar se a expressão está definida no ponto.
Passo 2
Avaliando numerador e denominador em
para ver se a expressão está definida:
Portanto, ao substituir diretamente obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos afirmar o valor do limite por substituição direta — é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica padrão para tratar indeterminações
é fatorar e cancelar fatores comuns. Vamos fatorar o numerador. Observando que
é uma diferença de quadrados:
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão original e simplificando (válido para
, onde o fator
não é zero):
Assim, na vizinhança de
(exceto no próprio ponto), a função original coincide com a função
.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de limites: se duas funções coincidem em todo um entorno de um ponto exceto possivelmente no próprio ponto, elas têm o mesmo limite naquele ponto. A função simplificada
é polinomial e, portanto, contínua em todo lugar. Logo:
Como
é contínua, basta substituir
:
Passo 6
Resumo didático rápido (pra você lembrar na prova): quando tiver
, tente fatorar numerador e denominador para cancelar o fator responsável pela indeterminação; depois avalie o limite da função simplificada, que normalmente é contínua e permite substituição direta. Exemplo similar:
usa a mesma ideia e dá
.