A pergunta é: determinar o valor de a para que g seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
Para x>2 a função é a razão \dfrac{\sin(4(x-2))}{\sin(5(x-2))}.
Para x\le2 a função é \sqrt{a x^{2}+1}.
O ponto onde as duas definições se encontram é x=2; aí pode ocorrer descontinuidade se os limites laterais não coincidirem com o valor da função.
O que preciso obter: escolher a de modo que g seja contínua em todo ponto de \mathbb{R}. (O passo crítico costuma ser garantir continuidade em x=2.)]
Passo 2
Lembrete didático sobre continuidade em um ponto (passo a passo):
Uma função g é contínua em x=2 se e somente se os três valores coincidem:
o limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to2^+} g(x),
o limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to2^-} g(x),
o valor g(2).
Para uma função definida por partes como aqui, normalmente cada ramo é contínuo no interior do seu intervalo (quando bem definido) e a única preocupação é fazer as duas peças “se encontrarem” em x=2.
Portanto vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to2^+} g(x) (ramo x>2) e comparar com g(2)=\sqrt{4a+1} (ramo x\le2). Para ser contínua em \mathbb{R} precisamos que esses valores coincidam.
Método e ideia (aulas rápidas sobre o limite trigonométrico fundamental):
O limite fundamental é \displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Isso nos permite tratar senos de argumentos pequenos como aproximadamente iguais aos próprios argumentos.
Para um pequeno h (aqui h=x-2 quando x\to2), vale \sin(4h)\approx 4h e \sin(5h)\approx 5h. Assim a razão tende para \dfrac{4h}{5h}=\dfrac{4}{5}.
Agora a demonstração rigorosa por manipulação:
Avaliar o valor à esquerda e a condição de continuidade em x=2.
O valor da função em x=2 vem do ramo x\le2:
g(2)=\sqrt{a\cdot 2^{2}+1}=\sqrt{4a+1}.
Para que g seja contínua em x=2 é necessário e suficiente que
\sqrt{4a+1}=\frac{4}{5}.
Agora resolvemos essa equação para a. Como ambos os lados são não negativos (a raiz principal é \ge0 e 4/5>0), podemos elevar ao quadrado sem trocar sinais:
Verificações e comentários finais (didática e segurança):
Verificar que com a=-\dfrac{9}{100} o radicando em x=2 é não negativo:4a+1=4\left(-\frac{9}{100}\right)+1=-\frac{36}{100}+1=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}>0,então g(2)=4/5 está bem definido.
Observação útil (para a prova): mostramos que os limites laterais em x=2 coincidem com o valor da função em 2, logo g é contínua em x=2 para a=-\dfrac{9}{100}.
(Nota prática: cada ramo é contínuo em seu intervalo onde está definido; a escolha de a resolveu a junção em x=2.)