Calcular a para que g seja continua em \mathbb{R} :
g(x)= \begin{cases}\frac{\sin (4(x-2)}{\sin (5(x-2))} & x>2 \\\ \sqrt{a x^{2}+1} & 2 \geq x\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
g(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin\bigl(4(x-2)\bigr)}{\sin\bigl(5(x-2)\bigr)} & x>2,\\[6pt] \sqrt{a x^{2}+1} & x\le 2. \end{cases}
A pergunta é: determinar o valor de a para que g seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
  • Para x>2 a função é a razão \dfrac{\sin(4(x-2))}{\sin(5(x-2))}.
  • Para x\le2 a função é \sqrt{a x^{2}+1}.
  • O ponto onde as duas definições se encontram é x=2; aí pode ocorrer descontinuidade se os limites laterais não coincidirem com o valor da função.
O que preciso obter: escolher a de modo que g seja contínua em todo ponto de \mathbb{R}. (O passo crítico costuma ser garantir continuidade em x=2.)]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade em um ponto (passo a passo):
  • Uma função g é contínua em x=2 se e somente se os três valores coincidem:
    1. o limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to2^+} g(x),
    2. o limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to2^-} g(x),
    3. o valor g(2).
  • Para uma função definida por partes como aqui, normalmente cada ramo é contínuo no interior do seu intervalo (quando bem definido) e a única preocupação é fazer as duas peças “se encontrarem” em x=2.
  • Portanto vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to2^+} g(x) (ramo x>2) e comparar com g(2)=\sqrt{4a+1} (ramo x\le2). Para ser contínua em \mathbb{R} precisamos que esses valores coincidam.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac{\sin\bigl(4(x-2)\bigr)}{\sin\bigl(5(x-2)\bigr)}.
Método e ideia (aulas rápidas sobre o limite trigonométrico fundamental):
  • O limite fundamental é \displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Isso nos permite tratar senos de argumentos pequenos como aproximadamente iguais aos próprios argumentos.
  • Para um pequeno h (aqui h=x-2 quando x\to2), vale \sin(4h)\approx 4h e \sin(5h)\approx 5h. Assim a razão tende para \dfrac{4h}{5h}=\dfrac{4}{5}.
    Agora a demonstração rigorosa por manipulação:
Seja h=x-2. Quando x\to2^+ temos h\to0^+. Então
\frac{\sin\bigl(4(x-2)\bigr)}{\sin\bigl(5(x-2)\bigr)} = \frac{\sin(4h)}{\sin(5h)} = \frac{\sin(4h)/(4h)}{\sin(5h)/(5h)}\cdot\frac{4}{5}.
Como h\to0, aplica-se o limite fundamental em numerador e denominador:
\lim_{h\to0}\frac{\sin(4h)}{4h}=1,\qquad \lim_{h\to0}\frac{\sin(5h)}{5h}=1.
Portanto
\lim_{x\to2^+}\frac{\sin\bigl(4(x-2)\bigr)}{\sin\bigl(5(x-2)\bigr)}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Avaliar o valor à esquerda e a condição de continuidade em x=2.
O valor da função em x=2 vem do ramo x\le2:
g(2)=\sqrt{a\cdot 2^{2}+1}=\sqrt{4a+1}.
Para que g seja contínua em x=2 é necessário e suficiente que
\sqrt{4a+1}=\frac{4}{5}.
Agora resolvemos essa equação para a. Como ambos os lados são não negativos (a raiz principal é \ge0 e 4/5>0), podemos elevar ao quadrado sem trocar sinais:
4a+1=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}.
Segue
4a=\frac{16}{25}-1=\frac{16-25}{25}=-\frac{9}{25}.
Dividindo por 4:
a=-\frac{9}{25}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{9}{100}.

Passo 5

Verificações e comentários finais (didática e segurança):
  • Verificar que com a=-\dfrac{9}{100} o radicando em x=2 é não negativo: 4a+1=4\left(-\frac{9}{100}\right)+1=-\frac{36}{100}+1=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}>0,então g(2)=4/5 está bem definido.
  • Observação útil (para a prova): mostramos que os limites laterais em x=2 coincidem com o valor da função em 2, logo g é contínua em x=2 para a=-\dfrac{9}{100}.
  • (Nota prática: cada ramo é contínuo em seu intervalo onde está definido; a escolha de a resolveu a junção em x=2.)

Resposta

-\dfrac{9}{100}

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