Resolva as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: é uma primitiva (integral indefinida) de uma função racional multiplicada por um logaritmo natural de
. Não há condições adicionais (domínio etc.) além das usuais:
por causa de
. O objetivo é encontrar uma expressão
tal que
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática e amigável).
Uma boa estratégia quando aparece um logaritmo multiplicado por uma potência de é usar integração por partes, porque a derivada do logaritmo simplifica e a integral de
é simples. Lembra da fórmula de integração por partes:
Uma boa estratégia quando aparece um logaritmo multiplicado por uma potência de
onde
e
são partes da integranda escolhidas por conveniência.
Aqui escolhemos
Agora calculamos
e
. A derivada de
é
A primitiva de
é
Passo 3
Aplicando integração por partes:
Simplificando o integrando do segundo termo:
Como há um sinal negativo na frente da integral, o resultado fica
Portanto reduzimos o problema a calcular
.
Passo 4
Resolver
por frações parciais.
Escrevemos
Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Comparando coeficientes polinomiais:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Logo
,
,
. Assim
Passo 5
Integrar termo a termo:
A primeira integral é direta:
Na segunda, fazemos a substituição
, portanto
e
. Assim
Multiplicando pelo fator
obtemos
Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Substituir esse resultado na expressão obtida no Passo 3:
(Juntamos constantes de integração num único
.)
Podemos escrever o resultado final de forma clara agrupando os termos:
Passo 7
Comentário final e verificação rápida (pra dar confiança).
Se derivar a expressão acima com relação a obtém-se novamente
, então a primitiva está correta. Boa! Persistência está valendo a pena — você já domina integração por partes + frações parciais, que são ferramentas muito úteis.
Se derivar a expressão acima com relação a