Resolva as integrais:
\int \frac{\ln \left(x^{2}+3\right)}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas: é uma primitiva (integral indefinida) de uma função racional multiplicada por um logaritmo natural de x^{2}+3. Não há condições adicionais (domínio etc.) além das usuais: x\neq0 por causa de x^{-3}. O objetivo é encontrar uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\dfrac{\ln\!(x^{2}+3)}{x^{3}}.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática e amigável).
Uma boa estratégia quando aparece um logaritmo multiplicado por uma potência de x é usar integração por partes, porque a derivada do logaritmo simplifica e a integral de x^{-3} é simples. Lembra da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes da integranda escolhidas por conveniência.
Aqui escolhemos
u=\ln\!\left(x^{2}+3\right),\qquad dv = x^{-3}\,dx.
Agora calculamos du e v. A derivada de u é
du = \frac{d}{dx}\ln\!\left(x^{2}+3\right)\,dx = \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx.
A primitiva de dv é
v=\int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{x^{3}}\,dx = u v - \int v\,du = -\frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{2x^{2}} - \int \left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)\cdot\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx.
Simplificando o integrando do segundo termo:
\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)\cdot\frac{2x}{x^{2}+3} = -\frac{1}{x(x^{2}+3)}.
Como há um sinal negativo na frente da integral, o resultado fica
\int \frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{x^{3}}\,dx = -\frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{2x^{2}} + \int \frac{1}{x(x^{2}+3)}\,dx.
Portanto reduzimos o problema a calcular \displaystyle\int \frac{1}{x(x^{2}+3)}\,dx.

Passo 4

Resolver \displaystyle\int \frac{1}{x(x^{2}+3)}\,dx por frações parciais.
Escrevemos
\frac{1}{x(x^{2}+3)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+3}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+3) obtemos a identidade
1 = A(x^{2}+3) + (Bx+C)x = (A+B)x^{2} + Cx + 3A.
Comparando coeficientes polinomiais:
  • Coeficiente de x^{2}: A+B = 0 \Rightarrow B = -A.
  • Coeficiente de x: C = 0.
  • Termo constante: 3A = 1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{3}.
Logo A=\dfrac{1}{3}, B=-\dfrac{1}{3}, C=0. Assim
\frac{1}{x(x^{2}+3)} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{x}{x^{2}+3}.

Passo 5

Integrar termo a termo:
\int \frac{1}{x(x^{2}+3)}\,dx = \int \left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{x}{x^{2}+3}\right)\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx - \frac{1}{3}\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx.
A primeira integral é direta:
\frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x|.
Na segunda, fazemos a substituição t=x^{2}+3, portanto dt=2x\,dx e x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+3\right).
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{3} obtemos
- \frac{1}{3}\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+3\right) = -\frac{1}{6}\ln\!\left(x^{2}+3\right).
Portanto
\int \frac{1}{x(x^{2}+3)}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x| - \frac{1}{6}\ln\!\left(x^{2}+3\right) + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 6

Substituir esse resultado na expressão obtida no Passo 3:
\int \frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{x^{3}}\,dx = -\frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{2x^{2}} + \left(\frac{1}{3}\ln|x| - \frac{1}{6}\ln\!\left(x^{2}+3\right)\right) + C.
(Juntamos constantes de integração num único C.)
Podemos escrever o resultado final de forma clara agrupando os termos:
\int \frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{x^{3}}\,dx = -\frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{2x^{2}} + \frac{1}{3}\ln|x| - \frac{1}{6}\ln\!\left(x^{2}+3\right) + C.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida (pra dar confiança).
Se derivar a expressão acima com relação a x obtém-se novamente \dfrac{\ln\!(x^{2}+3)}{x^{3}}, então a primitiva está correta. Boa! Persistência está valendo a pena — você já domina integração por partes + frações parciais, que são ferramentas muito úteis.

Resposta

-\frac{\ln\!\left(x^{2}+3\right)}{2x^{2}}+\frac{1}{3}\ln|x|-\frac{1}{6}\ln\!\left(x^{2}+3\right)+C

Exercícios relacionados