Considere a função
.
(a) Determine o dominio de
.
(b) A função
tem alguma assíntota horizontal? Justifique sua resposta.
(c) A função
tem alguma assíntota vertical? Justifique sua resposta.
(a) Determine o dominio de
(b) A função
(c) A função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Dizer se
tem alguma assíntota horizontal e justificar. - (c) Dizer se
tem alguma assíntota vertical e justificar.
Informações relevantes que já estão no enunciado e que vou usar depois:
- A presença de
impõe uma restrição sobre os valores de (nem todo número real serve). - A presença de uma fração com denominador
impõe que esse denominador não pode ser zero (esse ponto pode ser problema para o domínio e para assíntotas verticais).
Passo 2
Vamos tratar a restrição imposta pela raiz quadrada
. A raiz quadrada real está definida somente para argumentos não negativos. Portanto a primeira condição para o domínio é
Isto nos diz que somente valores de
maiores ou iguais a
podem ser considerados.
Passo 3
Agora tratamos a restrição do denominador: não podemos ter
. Vou encontrar as raízes desse polinômio para saber quais
tornam o denominador zero.
Uma forma rápida é fatorar o quadrático procurando dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
. Portanto
Logo as raízes são
e
. Esses valores devem ser excluídos do domínio porque anulam o denominador.
Passo 4
Agora faço a interseção das duas condições: temos a condição da raiz
e a condição de excluir
que anulam o denominador, ou seja
e
.
Como
já não satisfaz
, ele já está automaticamente fora do domínio. O único valor não permitido dentro de
é
.
Portanto o domínio é todos os
, exceto
. Em notação de intervalos:
Passo 5
Agora passo para as assíntotas horizontais. Primeiro lembro a definição prática: uma reta
é assíntota horizontal se
Se qualquer um desses limites (à direita ou à esquerda) existir e for finito igual a
, dizemos que
é assíntota horizontal nesse infinito.
No nosso caso, o domínio já mostrou que só valores
são permitidos, então faz sentido falar do comportamento quando
. Não há valores de
negativos na vizinhança de
no domínio, então não consideramos
aqui.
Passo 6
Para estudar
uso a ideia de comparar graus polinomiais: no numerador o termo de maior ordem é
(a
e o
são de ordem menor) e no denominador o termo de maior ordem é
. Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite do quociente tende para a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder do numerador dividido pelo do denominador).
Faço o cálculo por divisão por
para ser rigoroso:
Ao tomar
os termos
,
,
e
tendem a
. Logo
Passo 7
Concluo, portanto, que existe uma assíntota horizontal quando
e é a reta
. Não há assíntota horizontal do tipo
porque o domínio não inclui valores negativos (a função não está definida para
).
Passo 8
Agora passo para as assíntotas verticais. Intuitivamente, uma assíntota vertical ocorre em um ponto
quando
é um ponto de acumulação do domínio onde a função tende a
. Na prática pontos candidatos são zeros do denominador que sejam pontos de acumulação da porção do domínio.
Do passo anterior encontramos que o denominador se anula em
e
. Porém
não é ponto de acumulação do domínio porque o domínio começa em
; ou seja, não é possível aproximar-se de
por valores de
na função (a raiz impede). Portanto
não gera assíntota vertical aqui.
O candidato relevante é
, que está dentro da vizinhança do domínio (existem pontos da função arbitrariamente próximos de
tanto por esquerda quanto por direita, dentro do intervalo
).
Passo 9
Para verificar se
é assíntota vertical, verifico se o numerador tende a algo diferente de zero em
. Calculo o numerador em
:
que é claramente maior que zero (não é zero). Como o denominador tende a zero em
(muda de sinal por atravessar uma raiz simples) e o numerador tende a um valor não nulo, a fração tende a
. Isso caracteriza uma assíntota vertical em
.
Passo 10
Posso também indicar os sinais das duas limites laterais para ficar completo: perto de
o denominador se fatoriza
. Para
temos
pequeno e
(aproximadamente
), logo o denominador é negativo e pequeno; o numerador em
é positivo (como calculado). Portanto
Para
temos
pequeno e
, denominador positivo pequeno, numerador positivo, então
Isso confirma que
é de fato uma assíntota vertical.
Resposta
(a)
(b) Sim. Há assíntota horizontal
(quando
).
(c) Sim. Há assíntota vertical
(com
e
).