Considere a função f(x)=\frac{7+\sqrt{x}+3 x^{2}}{x^{2}-2 x-15}.
(a) Determine o dominio de f.
(b) A função f tem alguma assíntota horizontal? Justifique sua resposta.
(c) A função f tem alguma assíntota vertical? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{7+\sqrt{x}+3x^{2}}{x^{2}-2x-15}
e pede três coisas:
  • (a) Determinar o domínio de f.
  • (b) Dizer se f tem alguma assíntota horizontal e justificar.
  • (c) Dizer se f tem alguma assíntota vertical e justificar.
Informações relevantes que já estão no enunciado e que vou usar depois:
  • A presença de \sqrt{x} impõe uma restrição sobre os valores de x (nem todo número real serve).
  • A presença de uma fração com denominador x^{2}-2x-15 impõe que esse denominador não pode ser zero (esse ponto pode ser problema para o domínio e para assíntotas verticais).

Passo 2

Vamos tratar a restrição imposta pela raiz quadrada \sqrt{x}. A raiz quadrada real está definida somente para argumentos não negativos. Portanto a primeira condição para o domínio é
x\ge 0.
Isto nos diz que somente valores de x maiores ou iguais a 0 podem ser considerados.

Passo 3

Agora tratamos a restrição do denominador: não podemos ter x^{2}-2x-15=0. Vou encontrar as raízes desse polinômio para saber quais x tornam o denominador zero.
Uma forma rápida é fatorar o quadrático procurando dois números que multiplicam -15 e somam -2. Esses números são -5 e 3. Portanto
x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3).
Logo as raízes são x=5 e x=-3. Esses valores devem ser excluídos do domínio porque anulam o denominador.

Passo 4

Agora faço a interseção das duas condições: temos a condição da raiz \,x\ge0 e a condição de excluir x que anulam o denominador, ou seja x\neq5 e x\neq-3.
Como x=-3 já não satisfaz x\ge0, ele já está automaticamente fora do domínio. O único valor não permitido dentro de x\ge0 é x=5.
Portanto o domínio é todos os x\ge0, exceto x=5. Em notação de intervalos:
\mathrm{Dom}(f)=[0,5)\cup(5,\infty).

Passo 5

Agora passo para as assíntotas horizontais. Primeiro lembro a definição prática: uma reta y=L é assíntota horizontal se
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Se qualquer um desses limites (à direita ou à esquerda) existir e for finito igual a L, dizemos que y=L é assíntota horizontal nesse infinito.
No nosso caso, o domínio já mostrou que só valores x\ge0 são permitidos, então faz sentido falar do comportamento quando x\to+\infty. Não há valores de x negativos na vizinhança de -\infty no domínio, então não consideramos x\to-\infty aqui.

Passo 6

Para estudar \lim_{x\to+\infty} f(x) uso a ideia de comparar graus polinomiais: no numerador o termo de maior ordem é 3x^{2} (a \sqrt{x} e o 7 são de ordem menor) e no denominador o termo de maior ordem é x^{2}. Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite do quociente tende para a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder do numerador dividido pelo do denominador).
Faço o cálculo por divisão por x^{2} para ser rigoroso:
f(x)=\frac{7+\sqrt{x}+3x^{2}}{x^{2}-2x-15} =\frac{\frac{7}{x^{2}}+\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}+3}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}.
Ao tomar x\to+\infty os termos \dfrac{7}{x^{2}}, \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}}, \dfrac{2}{x} e \dfrac{15}{x^{2}} tendem a 0. Logo
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{3}{1}=3.

Passo 7

Concluo, portanto, que existe uma assíntota horizontal quando x\to+\infty e é a reta y=3. Não há assíntota horizontal do tipo x\to-\infty porque o domínio não inclui valores negativos (a função não está definida para x<0).

Passo 8

Agora passo para as assíntotas verticais. Intuitivamente, uma assíntota vertical ocorre em um ponto x=a quando a é um ponto de acumulação do domínio onde a função tende a \pm\infty. Na prática pontos candidatos são zeros do denominador que sejam pontos de acumulação da porção do domínio.
Do passo anterior encontramos que o denominador se anula em x=5 e x=-3. Porém x=-3 não é ponto de acumulação do domínio porque o domínio começa em 0; ou seja, não é possível aproximar-se de -3 por valores de x na função (a raiz impede). Portanto x=-3 não gera assíntota vertical aqui.
O candidato relevante é x=5, que está dentro da vizinhança do domínio (existem pontos da função arbitrariamente próximos de 5 tanto por esquerda quanto por direita, dentro do intervalo [0,\infty)).

Passo 9

Para verificar se x=5 é assíntota vertical, verifico se o numerador tende a algo diferente de zero em x=5. Calculo o numerador em x=5:
7+\sqrt{5}+3\cdot 5^{2}=7+\sqrt{5}+75=82+\sqrt{5},
que é claramente maior que zero (não é zero). Como o denominador tende a zero em x=5 (muda de sinal por atravessar uma raiz simples) e o numerador tende a um valor não nulo, a fração tende a \pm\infty. Isso caracteriza uma assíntota vertical em x=5.

Passo 10

Posso também indicar os sinais das duas limites laterais para ficar completo: perto de x=5 o denominador se fatoriza (x-5)(x+3). Para x\to5^{-} temos x-5<0 pequeno e x+3>0 (aproximadamente 8), logo o denominador é negativo e pequeno; o numerador em x\approx5 é positivo (como calculado). Portanto
\lim_{x\to5^{-}} f(x)=-\infty.
Para x\to5^{+} temos x-5>0 pequeno e x+3>0, denominador positivo pequeno, numerador positivo, então
\lim_{x\to5^{+}} f(x)=+\infty.
Isso confirma que x=5 é de fato uma assíntota vertical.

Resposta

(a) \mathrm{Dom}(f)=[0,5)\cup(5,\infty)
(b) Sim. Há assíntota horizontal y=3 (quando x\to+\infty).
(c) Sim. Há assíntota vertical x=5 (com \lim_{x\to5^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to5^+}f(x)=+\infty).

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