Resolva as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se busca:
- A variável de integração é
. - A expressão contém
, e soma/quociente envolvendo esses termos. - Quer-se encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, isto é, uma função
tal que seja a função integranda.
Passo 2
Observação e escolha de substituição: aparece
em vários lugares e também
que é
. Uma substituição natural é definir
Explico: ao usar
transformamos potências fracionárias em polinômios em
, simplificando a integral.
Agora calculamos a derivada de
em função de
. Como
, tem-se
Também substituímos a parte
por
e a parte
por
. Substituindo tudo na integral original:
Passo 3
Simplificação após substituição: no integrando há um fator
no numerador (de
) e um fator
no denominador, que se cancelam. Então a integral em
fica muito mais simples:
Agora temos uma integral racional em
. Estratégia: escrever o numerador como soma de uma parte proporcional à derivada do denominador (que gera um log) e uma parte que resulte em uma função do tipo
(que gera arco-tangente).
Passo 4
Reescrever o numerador de forma conveniente. Note que
Portanto a integral separa-se em duas:
Passo 5
Primeira parcela: usar que a derivada de
é
. Assim
onde
é uma constante de integração (será incorporada na constante final).
Aqui usei a fórmula padrão:
.
Passo 6
Segunda parcela: completar o quadrado no denominador
Então
Fazendo a substituição
(ou lembrando a forma padrão), tem-se a primitiva conhecida
Voltando para
,
Multiplicando pelo fator
da separação anterior,
Passo 7
Juntando as duas parcelas e recolhendo as constantes numa única
, obtemos a antiderivada em termos de
:
Passo 8
Voltar à variável original: lembrando
, substituímos de volta:
Portanto uma primitiva da integrand original é