Resolva as integrais:
\int \frac{\sqrt{x}-2}{2 \sqrt{x}(x+2 \sqrt{x}+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x}-2}{2 \sqrt{x}\bigl(x+2\sqrt{x}+2\bigr)}\,dx.
Informações dadas e o que se busca:
  • A variável de integração é x.
  • A expressão contém \sqrt{x}, x e soma/quociente envolvendo esses termos.
  • Quer-se encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x) seja a função integranda.

Passo 2

Observação e escolha de substituição: aparece \sqrt{x} em vários lugares e também x que é (\sqrt{x})^2. Uma substituição natural é definir
t=\sqrt{x}.
Explico: ao usar t=\sqrt{x} transformamos potências fracionárias em polinômios em t, simplificando a integral.
Agora calculamos a derivada de x em função de t. Como x=t^2, tem-se
dx=2t\,dt.
Também substituímos a parte \sqrt{x}-2 por t-2 e a parte x+2\sqrt{x}+2 por t^2+2t+2. Substituindo tudo na integral original:
\int \frac{\sqrt{x}-2}{2 \sqrt{x}\bigl(x+2\sqrt{x}+2\bigr)}\,dx = \int \frac{t-2}{2t\bigl(t^2+2t+2\bigr)}\cdot(2t\,dt).

Passo 3

Simplificação após substituição: no integrando há um fator 2t no numerador (de dx) e um fator 2t no denominador, que se cancelam. Então a integral em t fica muito mais simples:
\int \frac{t-2}{t^2+2t+2}\,dt.
Agora temos uma integral racional em t. Estratégia: escrever o numerador como soma de uma parte proporcional à derivada do denominador (que gera um log) e uma parte que resulte em uma função do tipo \dfrac{1}{(t+1)^2+1} (que gera arco-tangente).

Passo 4

Reescrever o numerador de forma conveniente. Note que
t-2=(t+1)-3.
Portanto a integral separa-se em duas:
\int \frac{t-2}{t^2+2t+2}\,dt = \int \frac{t+1}{t^2+2t+2}\,dt -3\int \frac{1}{t^2+2t+2}\,dt.

Passo 5

Primeira parcela: usar que a derivada de t^2+2t+2 é 2t+2=2(t+1). Assim
\int \frac{t+1}{t^2+2t+2}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{2t+2}{t^2+2t+2}\,dt = \frac{1}{2}\ln\bigl(t^2+2t+2\bigr)+C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (será incorporada na constante final).
Aqui usei a fórmula padrão: \displaystyle \int \frac{u'}{u}\,dt=\ln|u|+C.

Passo 6

Segunda parcela: completar o quadrado no denominador
t^2+2t+2=(t+1)^2+1.
Então
\int \frac{1}{t^2+2t+2}\,dt = \int \frac{1}{(t+1)^2+1}\,dt.
Fazendo a substituição u=t+1 (ou lembrando a forma padrão), tem-se a primitiva conhecida
\int \frac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u + C.
Voltando para t,
\int \frac{1}{(t+1)^2+1}\,dt=\arctan(t+1)+C_2.
Multiplicando pelo fator -3 da separação anterior,
-3\int \frac{1}{t^2+2t+2}\,dt = -3\arctan(t+1)+C_3.

Passo 7

Juntando as duas parcelas e recolhendo as constantes numa única C, obtemos a antiderivada em termos de t:
\int \frac{t-2}{t^2+2t+2}\,dt = \frac{1}{2}\ln\bigl(t^2+2t+2\bigr)-3\arctan(t+1)+C.

Passo 8

Voltar à variável original: lembrando t=\sqrt{x}, substituímos de volta:
t^2+2t+2 = x+2\sqrt{x}+2, \qquad t+1=\sqrt{x}+1.
Portanto uma primitiva da integrand original é
\frac{1}{2}\ln\bigl(x+2\sqrt{x}+2\bigr)-3\arctan\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)+C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl(x+2\sqrt{x}+2\bigr)-3\arctan\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)+C

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