Mostre que a EDO é separável e encontre a solução.
y^prime=e^-x-e^x3+4 y, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'=e^-x-e^x3+4y,
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é separação de variáveis: vamos rearranjar para integrar em cada variável separadamente.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (3+4y),dx para obter
(3+4y),dy=(e^-x-e^x),dx

Passo 3

Integramos cada lado:
integral(3+4y),dy=integral(e^-x-e^x),dx
No lado esquerdo
integral(3+4y),dy=3y+2y^2,
e no lado direito
integral(e^-x-e^x),dx=-e^-x-e^x+C
Logo obtemos a relação implícita
2y^2+3y=-e^-x-e^x+C

Passo 4

Usamos y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em
2y^2+3y=-e^-x-e^x+C
2cdot1^2+3cdot1=-e^0-e^0+CRightarrow5=-2+CRightarrow C=7
Então a solução implícita é
2y^2+3y=-e^-x-e^x+7

Passo 5

Para expressar y isoladamente, reescrevemos como
2y^2+3y+(e^x+e^-x-7)=0
O discriminante é
De<a=3^2-4cdot2cdot(e^x+e^-x-7) =9-8(e^x+e^-x-7) =65-8l(e^x+e^-xr)
A condição inicial escolhe o sinal “ +” na fórmula de Bhaskara, resultando em
y(x) =-3+raiz65-8l(e^x+e^-xr)4

Resposta

boxedy(x)=-3+raiz65-8l(e^x+e^-xr)4

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