Calcular, sendo
, e
a superfície
limitada por
.
Passo 1
O problema pede o fluxo vetorial ∬ φ n dS através da porção da superfície plana 2x + y + 2z = 6 limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Vamos usar parametrização em (x,y), achar o vetor normal, expressar φ em função de x,y e então integrar.
Passo 2
Escrevemos z(x,y) a partir da equação da superfície: 2x + y + 2z = 6 ⇒ z = 3 − x − y/2. Parametrizamos r(x,y) = (x, y, 3 − x − y/2), com (x,y) no retângulo [0,1]×[0,2]. Calculamos o vetor de área orientado: r_x × r_y = ⟨1, 1/2, 1⟩.
Passo 3
Substituímos z na função φ=4x+3y−2z para obter φ(x,y):
O fluxo vetorial é ∬ φ n dS = ∬ φ (r_x×r_y) dA. Como r_x×r_y=⟨1,1/2,1⟩, os componentes são:
com dA = dx dy e domínio 0≤x≤1, 0≤y≤2.
Passo 4
Calculamos I = ∬(6x+4y−6)dA sobre o retângulo:
Logo F_x=2, F_y=I/2=1, F_z=2.
Passo 5
A resposta final é o vetor fluxo ponderado por φ: ⟨2, 1, 2⟩.