Calcular, sendo dotF=(x+2 y) i-3 z j+x k, phi=4 x+3 y-2 z, e S a superfície 2 x+y+2 z=6 limitada por x=0, x=1, y=0, y=2.
integral dupla phi n d S

Passo 1

O problema pede o fluxo vetorial ∬ φ n dS através da porção da superfície plana 2x + y + 2z = 6 limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Vamos usar parametrização em (x,y), achar o vetor normal, expressar φ em função de x,y e então integrar.

Passo 2

Escrevemos z(x,y) a partir da equação da superfície: 2x + y + 2z = 6 ⇒ z = 3 − x − y/2. Parametrizamos r(x,y) = (x, y, 3 − x − y/2), com (x,y) no retângulo [0,1]×[0,2]. Calculamos o vetor de área orientado: r_x × r_y = ⟨1, 1/2, 1⟩.

Passo 3

Substituímos z na função φ=4x+3y−2z para obter φ(x,y):
φ(x,y)=4x+3y−2l(3−x−y/2r)=6x+4y−6
O fluxo vetorial é ∬ φ n dS = ∬ φ (r_x×r_y) dA. Como r_x×r_y=⟨1,1/2,1⟩, os componentes são:
Fx=integral dupla (6x+4y−6),dA, Fy=tfrac12integral dupla (6x+4y−6),dA, Fz=integral dupla (6x+4y−6),dA
com dA = dx dy e domínio 0≤x≤1, 0≤y≤2.

Passo 4

Calculamos I = ∬(6x+4y−6)dA sobre o retângulo:
I=integral0^1integral0^2(6x+4y−6),dy,dx =integral0^1l[(6x−6)·2+4·tfrac2^22r]dx =integral0^1(12x−12+8)dx =integral0^1(12x−4)dx =6x^2−4x|0^1=6−4=2
Logo F_x=2, F_y=I/2=1, F_z=2.

Passo 5

A resposta final é o vetor fluxo ponderado por φ: ⟨2, 1, 2⟩.

Resposta

lang<= 2,,1,,2rang<=

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