Calcular integral tripla(2 x+y) d V, onde V é a região fechada limitada pelo cilindro z=4-x^2 e pelos planos x=0, y=0, y=2 e z=0;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaV (2x + y),dV sobre a região V limitada pelo cilindro z = 4 - x^2 e pelos planos x=0, y=0, y=2 e z=0. Vamos usar integrais iteradas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, determinamos os limites da região. Como z varia entre 0 e 4 - x^2, e para que 4 - x^2 >= 0 precisamos de -2 <= x <= 2. Mas como x >= 0, então x vai de 0 a 2. O plano y=0 e y=2 nos dá yin[0,2]. Logo podemos escrever
integral triplaV (2x + y),dV = integraly=0^2 integralx=0^2 integralz=0^4 - x^2 (2x + y) ,dz,dx,dy

Passo 3

Em seguida, integramos em z usando que 2x + y é constante em relação a z:
integralz=0^4 - x^2 (2x + y),dz = (2x + y),(4 - x^2)

Passo 4

Agora temos uma integral dupla em x e y:
integraly=0^2 integralx=0^2 (2x + y)(4 - x^2),dx,dy

Passo 5

Expandindo o integrando:
(2x + y)(4 - x^2) = 8x - 2x^3 + 4y - x^2y

Passo 6

Integramos em x de 0 a 2 termo a termo:
integral0^2 (8x - 2x^3 + 4y - x^2y),dx = l[4x^2 - tfrac12x^4 + 4yx - tfrac13x^3yr]0^2 = 16 - 8 + 8y - tfrac8y3 = 8 + tfrac16y3

Passo 7

Por fim, integramos em y de 0 a 2:
integral0^2 l(8 + tfrac16y3r),dy = l[8y + tfrac8y^23r]0^2 = 16 + tfrac323 = tfrac803

Resposta

\tfrac{80}{3}

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