Calcular
, onde V é a região fechada limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
;
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla
sobre a região
limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
,
e
. Vamos usar integrais iteradas em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, determinamos os limites da região. Como
varia entre
e
, e para que
precisamos de
. Mas como
, então
vai de
a
. O plano
e
nos dá
. Logo podemos escrever
Passo 3
Em seguida, integramos em
usando que
é constante em relação a
:
Passo 4
Agora temos uma integral dupla em
e
:
Passo 5
Expandindo o integrando:
Passo 6
Integramos em
de 0 a 2 termo a termo:
Passo 7
Por fim, integramos em
de 0 a 2:
Resposta
\tfrac{80}{3}