Calcular:
sendo
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Calcule também
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos duas derivadas parciais de terceira ordem da função $ u(x, y, z) = x \sqrt{2y + z} - \frac{5y{3}x{2}}{z^{5}} $. Isso envolve trabalhar com derivadas parciais múltiplas, onde derivamos a função em relação a mais de uma variável, seguindo uma certa ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, nessa ordem específica, para obter $ u_{xyz}(x, y, z) $.
Começamos derivando $ u $ em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão que encontramos acima em relação a $ y $:
Primeiro, derivamos $ \sqrt{2y + z} $ em relação a $ y $:
Em seguida, derivamos $ -\frac{10y{3}x}{z{5}} $ em relação a $ y $:
Então, a segunda derivada parcial é:
Passo 4
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a $ z $ para obter $ u_{xyz}(x, y, z) $:
Primeiro, derivamos $ \frac{1}{\sqrt{2y + z}} $ em relação a $ z $:
Em seguida, derivamos $ -\frac{30y{2}x}{z{5}} $ em relação a $ z $:
Então, combinando as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ u_{yyx}\left(2, \frac{5}{8}, -1\right) $.
Primeiro, encontramos a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $ duas vezes e depois em relação a $ x $.
Começamos derivando $ u $ em relação a $ y $:
Em seguida, derivamos novamente em relação a $ y $:
Derivando termo a termo:
Então:
Agora, derivamos essa expressão em relação a $ x $:
Derivando termo a termo:
Então:
Agora, substituímos $ x = 2 $, $ y = \frac{5}{8} $ e $ z = -1 $:
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculemos $ 2 \cdot \frac{5}{8} + (-1) $:
Então:
Agora, calculemos o segundo termo:
Finalmente, somamos os dois resultados:
Resposta
$ u_{xyz}(x, y, z) = -\frac{1}{2} (2y + z)^{-3/2} + \frac{150y{2}x}{z{6}} $ e $ u_{yyx}\left(2, \frac{5}{8}, -1\right) = 59 $.