Calcular:
ux y z(x, y, z) sendo u(x, y, z)=x raiz2 y+z-5 y^3 x^2z^5.
Calcule também uy y x(2, 58,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos duas derivadas parciais de terceira ordem da função $ u(x, y, z) = x \sqrt{2y + z} - \frac{5y{3}x{2}}{z^{5}} $. Isso envolve trabalhar com derivadas parciais múltiplas, onde derivamos a função em relação a mais de uma variável, seguindo uma certa ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, nessa ordem específica, para obter $ u_{xyz}(x, y, z) $.
Começamos derivando $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão que encontramos acima em relação a $ y $:
y
Primeiro, derivamos $ \sqrt{2y + z} $ em relação a $ y $:
Em seguida, derivamos $ -\frac{10y{3}x}{z{5}} $ em relação a $ y $:
partial^2 upartial y partial x = partialpartial y ( raiz2y + z - 10y^3xz^5 )
Então, a segunda derivada parcial é:
raiz2y + z

Passo 4

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a $ z $ para obter $ u_{xyz}(x, y, z) $:
z
Primeiro, derivamos $ \frac{1}{\sqrt{2y + z}} $ em relação a $ z $:
uxyz(x, y, z)
Em seguida, derivamos $ -\frac{30y{2}x}{z{5}} $ em relação a $ z $:
uxyz(x, y, z) = partialpartial z ( 1raiz2y + z - 30y^2xz^5 )
Então, combinando as duas partes:
1raiz2y + z

Passo 5

Agora, vamos calcular $ u_{yyx}\left(2, \frac{5}{8}, -1\right) $.
Primeiro, encontramos a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $ duas vezes e depois em relação a $ x $.
Começamos derivando $ u $ em relação a $ y $:
uyyx(2, 58, -1)
Em seguida, derivamos novamente em relação a $ y $:
u
Derivando termo a termo:
y
x
Então:
u
Agora, derivamos essa expressão em relação a $ x $:
y
Derivando termo a termo:
partial upartial y = x cdot 22raiz2y + z - 15y^2x^2z^5 = xraiz2y + z - 15y^2x^2z^5
y
Então:
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y ( xraiz2y + z - 15y^2x^2z^5 )
Agora, substituímos $ x = 2 $, $ y = \frac{5}{8} $ e $ z = -1 $:
partialpartial y ( xraiz2y + z ) = -2x(2y + z)^3/2
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculemos $ 2 \cdot \frac{5}{8} + (-1) $:
partialpartial y ( -15y^2x^2z^5 ) = -30y x^2z^5
Então:
partial^2 upartial y^2 = -2x(2y + z)^3/2 - 30y x^2z^5
Agora, calculemos o segundo termo:
x
Finalmente, somamos os dois resultados:
uyyx = partialpartial x ( -2x(2y + z)^3/2 - 30y x^2z^5 )

Resposta

$ u_{xyz}(x, y, z) = -\frac{1}{2} (2y + z)^{-3/2} + \frac{150y{2}x}{z{6}} $ e $ u_{yyx}\left(2, \frac{5}{8}, -1\right) = 59 $.

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