Qual das funções abaixo possui os coeficiente da parte cosseno igual a zero e quais possui os coeficientes em relação a seno igual a zero?
Passo 1
Enunciado resumido e conteúdo: Temos a função f(x)=x, definida em (-π,π), e queremos analisar sua série de Fourier. O conteúdo aqui é o estudo de simetria (paridade) da função e o cálculo dos coeficientes aₙ (cosseno) e bₙ (seno).
Passo 2
Identificação de paridade: a função f(x)=x é ímpar, pois f(–x)=–f(x). Numa série de Fourier num intervalo simétrico, funções ímpares têm todos os coeficientes a₀ e aₙ iguais a zero, ou seja, não há termo em cosseno.
Passo 3
Cálculo dos coeficientes de seno para confirmar que não se anulam.
Explicitação da fórmula de bₙ para função ímpar: para f ímpar em (–π,π) temos
Explicitação da fórmula de bₙ para função ímpar: para f ímpar em (–π,π) temos
Passo 4
Cálculo da integral por partes (u=x, dv=sin(nx)dx) leva a
Passo 5
Conclusão: todos os coeficientes a₀ e aₙ (parte cosseno) são zero e os coeficientes bₙ (parte seno) são bₙ=2(–1)^{n+1}/n, não nulos.
Resposta
A função f(x)=x tem todos os coeficientes da parte cosseno (a₀ e aₙ) iguais a zero e possui coeficientes da parte seno (bₙ) não nulos, dados por bₙ=2(–1)^{n+1}/n.