Defina (formalmente) o que é pré-imagem de uma função e determine para a função .
Passo 1
O enunciado pede para definirmos formalmente a pré-imagem de uma função e em seguida determinar para a função , . Vamos usar teoria de conjuntos e manipular valores absolutos.
Passo 2
A definição formal de pré-imagem diz que, dado e um subconjunto , a pré-imagem de é
Passo 3
No nosso caso queremos , ou seja o conjunto de tais que . Precisamos então resolver .
Passo 4
Para tratar os valores absolutos, dividimos em três intervalos e obtemos a expressão de :
Em cada caso: para x<= -1 temos -2x=1 que leva a x=-tfrac12 (fora de x<= -1); para -1<= x<=1 temos 2=1 (impossível); para x>=1 temos 2x=1 que leva a x=tfrac12 (fora de x>=1).
Passo 5
Nenhum caso produz solução válida, então não existe xinR tal que f(x)=1. Logo a pré-imagem de 1 é o conjunto vazio.