Defina (formalmente) o que é pré-imagem de uma função e determine f^-1(1) para a função f: R R, f(x)=|x-1|+|x+1|.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos formalmente a pré-imagem de uma função e em seguida determinar f^-1(1) para a função f:RtoR, f(x)=|x-1|+|x+1|. Vamos usar teoria de conjuntos e manipular valores absolutos.

Passo 2

A definição formal de pré-imagem diz que, dado f:Xto Y e um subconjunto Bsubseteq Y, a pré-imagem de B é
f^-1(B)=xin Xmid f(x)in B

Passo 3

No nosso caso queremos f^-1(1), ou seja o conjunto de x tais que f(x)=1. Precisamos então resolver |x-1|+|x+1|=1.

Passo 4

Para tratar os valores absolutos, dividimos em três intervalos e obtemos a expressão de f(x):
f(x)=-2x,&x<= -1,2,&-1<= x<= 1,2x,&x>= 1
Em cada caso: para x<= -1 temos -2x=1 que leva a x=-tfrac12 (fora de x<= -1); para -1<= x<=1 temos 2=1 (impossível); para x>=1 temos 2x=1 que leva a x=tfrac12 (fora de x>=1).

Passo 5

Nenhum caso produz solução válida, então não existe xinR tal que f(x)=1. Logo a pré-imagem de 1 é o conjunto vazio.

Resposta

f^-1(1)=emptyset

Exercícios relacionados