Uma superfície S é formada pelo cilindro x^2+y^2=1, -1 <= z <= 1, e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com
f( pm 1,0,0)=2 f(0, pm 1,0)=3 f(0,0, pm 1)-4
Estime o valor de integral duplaS f(x, y, z) d S usando a soma de Riemann, tomando como retalhos Si j os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.

Passo 1

O enunciado descreve a superfície S composta pelo cilindro x^2+y^2=1, -1<= z<=1, mais os círculos de topo e fundo. Precisamos estimar integral duplaSf(x,y,z),dS por soma de Riemann usando 6 retalhos: 4 na lateral e 2 nos círculos.

Passo 2

Dividimos a parte lateral em quatro retalhos iguais (cada um correspondente a um quarto do cilindro) e os círculos de topo e fundo como dois retalhos separados. Cada retalho recebe um ponto de amostragem onde f é conhecida.

Passo 3

A área total da parte lateral do cilindro de raio r=1 e altura h=2 é
2pi r h =2picdot1cdot2=4pi
Como dividimos essa área em 4 retalhos iguais, cada retalho lateral tem área pi. Cada círculo (topo ou fundo) tem área
pi cdot1^2=pi

Passo 4

Nos retalhos laterais usamos os pontos
(1,0,0) e (−1,0,0) com f=2, e (0,1,0) e (0,−1,0) com f=3. Nos círculos usamos (0,0,1) e (0,0,−1) com f=4.

Passo 5

Agora somamos fitimesárea de cada retalho:
  • Retalhos em que f=2: 2 retalhos × 2timespi=2pi cada = 4pi.
  • Retalhos em que f=3: 2 retalhos × 3timespi=3pi cada = 6pi.
  • Círculos em que f=4: 2 retalhos × 4timespi=4pi cada = 8pi.
    Somando todas as contribuições, temos a estimativa:
4pi+6pi+8pi=18pi

Resposta

18pi

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