Uma superfície
é formada pelo cilindro
,
, e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que
é uma função contínua com
Estime o valor de
usando a soma de Riemann, tomando como retalhos
os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.
Estime o valor de
Passo 1
O enunciado descreve a superfície S composta pelo cilindro
,
, mais os círculos de topo e fundo. Precisamos estimar
por soma de Riemann usando 6 retalhos: 4 na lateral e 2 nos círculos.
Passo 2
Dividimos a parte lateral em quatro retalhos iguais (cada um correspondente a um quarto do cilindro) e os círculos de topo e fundo como dois retalhos separados. Cada retalho recebe um ponto de amostragem onde f é conhecida.
Passo 3
A área total da parte lateral do cilindro de raio
e altura
é
Como dividimos essa área em 4 retalhos iguais, cada retalho lateral tem área
Passo 4
Nos retalhos laterais usamos os pontos
(1,0,0) e (−1,0,0) com , e (0,1,0) e (0,−1,0) com
. Nos círculos usamos (0,0,1) e (0,0,−1) com
.
(1,0,0) e (−1,0,0) com
Passo 5
Agora somamos
área de cada retalho:
- Retalhos em que
: 2 retalhos × cada = . - Retalhos em que
: 2 retalhos × cada = . - Círculos em que
: 2 retalhos × cada = .
Somando todas as contribuições, temos a estimativa: