Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral integral triplaT x d V, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=25, pelo plano x+y+z=8 e pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos
integral triplaT x,dV
no sólido T limitado pelo cilindro x^2+y^2=25, pelo plano x+y+z=8 (isto é, z=8-x-y) e pelo plano z=0.
O conteúdo necessário é usar coordenadas cilíndricas para transformar x, o volume dV e descrever os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dz,dr,dtheta
A projeção de T no plano xy é o disco 0<= r<=5, 0<=theta<=2pi.
Para cada (r,theta), z varia de 0 até
z = 8 - x - y = 8 - r(costheta+sintheta)

Passo 3

Logo a integral vira
integral triplaT x,dV =integral0^2pi!integral0^5!integral0^,8 - r(costheta+sintheta) l(rcosthetar),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^8 - r(costheta+sintheta)r^2costheta,dz = r^2costheta;l(8 - r(costheta+sintheta)r)

Passo 5

A integral reduz-se a
integral0^2piintegral0^5 l(8r^2costheta - r^3costhetal(costheta+sinthetar)r) ,dr,dtheta
Calculamos os integrais em r:
integral0^58r^2,dr = 10003, integral0^5r^3,dr = 6254
Então a expressão fica
integral0^2pil(tfrac10003costheta - tfrac6254costheta(costheta+sintheta)r),dtheta

Passo 6

Faltam os integrais em theta. Usamos:
integral0^2picostheta,dtheta = 0, integral0^2pisinthetacostheta,dtheta = 0, integral0^2picos^2theta,dtheta = pi
Assim sobra apenas
-6254integral0^2picos^2theta,dtheta =-6254,pi

Resposta

-tfrac625pi4

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