Calcular \sigma(240), \sigma(420) e \sigma(1008).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os somatórios dos divisores (função soma dos divisores) dos inteiros dados. Mais precisamente as três quantidades a encontrar são:
\sigma(240),\qquad \sigma(420),\qquad \sigma(1008).
Informações fornecidas: apenas os três números inteiros 240, 420 e 1008.

Passo 2

O que é \sigma(n)?
A função \sigma(n) é a soma de todos os divisores positivos de n. Ou seja, se os divisores de n são d_1,d_2,\dots,d_k, então
\sigma(n)=\sum_{i=1}^{k} d_i.
Fórmula prática (caso útil na prova). Se n tem fatoração em números primos
n=\prod_{i=1}^{r} p_i^{a_i},
onde os p_i são primos distintos e os a_i são expoentes inteiros positivos, então existe uma fórmula fechada:
\sigma(n)=\prod_{i=1}^{r}\left(1+p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{a_i}\right).
Cada fator 1+p+p^2+\cdots+p^{a} é uma soma geométrica; ela pode ser calculada com a fórmula
1+p+p^2+\cdots+p^{a}=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}.
Essa fórmula é muito útil porque transforma o problema em fatorizar n e calcular alguns potes pequenos.

Passo 3

Por que a fórmula multiplicativa funciona? Intuição curta e prática para a prova: quando n é produto de primos distintos elevados a potências, cada divisor de n é obtido escolhendo independentemente a potência de cada primo. Logo a soma sobre todos os divisores se separa como produto das somas sobre as potências de cada primo — daí o produto dos termos 1+p+\cdots+p^a. Em provas mais formais, isso se prova contando divisores ou usando a propriedade multiplicativa da função soma dos divisores.

Passo 4

Exemplo rápido para fixar (pequeno e útil): calcular \sigma(12) usando a fórmula. Primeiro fatoriza-se 12=2^2\cdot3^1. Então
\sigma(12)=(1+2+2^2)\cdot(1+3)=(1+2+4)\cdot(1+3)=7\cdot4=28.
Isso bate com a soma direta dos divisores 1+2+3+4+6+12=28. Bom para checar que o procedimento funciona.

Passo 5

Calcular \sigma(240) passo a passo.
  1. Fatoração em primos de 240:
240=16\cdot15=2^4\cdot3^1\cdot5^1.
  1. Aplicar a fórmula multiplicativa:
\sigma(240)=\sigma(2^4)\cdot\sigma(3^1)\cdot\sigma(5^1).
  1. Calcular cada fator usando a soma geométrica:
\sigma(2^4)=1+2+2^2+2^3+2^4=1+2+4+8+16=31,
\sigma(3^1)=1+3=4,
\sigma(5^1)=1+5=6.
  1. Multiplicar os fatores (mostrando a conta):
\sigma(240)=31\cdot4\cdot6.
Primeiro 31\cdot4=124. Depois 124\cdot6=(120+4)\cdot6=720+24=744. Portanto
\sigma(240)=744.

Passo 6

Calcular \sigma(420) passo a passo.
  1. Fatoração em primos de 420:
420=2^2\cdot3^1\cdot5^1\cdot7^1.
  1. Aplicar a fórmula:
\sigma(420)=\sigma(2^2)\cdot\sigma(3^1)\cdot\sigma(5^1)\cdot\sigma(7^1).
  1. Calcular cada fator:
\sigma(2^2)=1+2+4=7,
\sigma(3^1)=1+3=4,
\sigma(5^1)=1+5=6,
\sigma(7^1)=1+7=8.
  1. Multiplicar os fatores (com cuidado nas contas):
\sigma(420)=7\cdot4\cdot6\cdot8.
Calcule em pares: 7\cdot4=28 e 6\cdot8=48. Então 28\cdot48. Uma forma fácil sem calculadora:
28\cdot48=28\cdot(50-2)=1400-56=1344.
Portanto
\sigma(420)=1344.

Passo 7

Calcular \sigma(1008) passo a passo.
  1. Fatoração em primos de 1008: dividir por 2 várias vezes
1008=2^4\cdot63,\qquad 63=3^2\cdot7,
logo
1008=2^4\cdot3^2\cdot7^1.
  1. Aplicar a fórmula:
\sigma(1008)=\sigma(2^4)\cdot\sigma(3^2)\cdot\sigma(7^1).
  1. Calcular cada soma geométrica:
\sigma(2^4)=1+2+4+8+16=31\quad(\text{o mesmo do Passo 5}),
\sigma(3^2)=1+3+3^2=1+3+9=13,
\sigma(7^1)=1+7=8.
  1. Multiplicar: primeiro 31\cdot13. Faça assim: 31\cdot10=310, 31\cdot3=93, somando dá 403. Agora 403\cdot8:
403\cdot8=(400+3)\cdot8=3200+24=3224.
Portanto
\sigma(1008)=3224.

Resposta

\sigma(240)=744
\sigma(420)=1344
\sigma(1008)=3224

Exercícios relacionados