Calcular
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os somatórios dos divisores (função soma dos divisores) dos inteiros dados. Mais precisamente as três quantidades a encontrar são:
Informações fornecidas: apenas os três números inteiros
,
e
.
Passo 2
O que é
?
A função é a soma de todos os divisores positivos de
. Ou seja, se os divisores de
são
, então
A função
Fórmula prática (caso útil na prova). Se
tem fatoração em números primos
onde os
são primos distintos e os
são expoentes inteiros positivos, então existe uma fórmula fechada:
Cada fator
é uma soma geométrica; ela pode ser calculada com a fórmula
Essa fórmula é muito útil porque transforma o problema em fatorizar
e calcular alguns potes pequenos.
Passo 3
Por que a fórmula multiplicativa funciona? Intuição curta e prática para a prova: quando
é produto de primos distintos elevados a potências, cada divisor de
é obtido escolhendo independentemente a potência de cada primo. Logo a soma sobre todos os divisores se separa como produto das somas sobre as potências de cada primo — daí o produto dos termos
. Em provas mais formais, isso se prova contando divisores ou usando a propriedade multiplicativa da função soma dos divisores.
Passo 4
Exemplo rápido para fixar (pequeno e útil): calcular
usando a fórmula. Primeiro fatoriza-se
. Então
Isso bate com a soma direta dos divisores
. Bom para checar que o procedimento funciona.
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Fatoração em primos de
:
- Aplicar a fórmula multiplicativa:
- Calcular cada fator usando a soma geométrica:
- Multiplicar os fatores (mostrando a conta):
Primeiro
. Depois
. Portanto
Passo 6
Calcular
passo a passo.
- Fatoração em primos de
:
- Aplicar a fórmula:
- Calcular cada fator:
- Multiplicar os fatores (com cuidado nas contas):
Calcule em pares:
e
. Então
. Uma forma fácil sem calculadora:
Portanto
Passo 7
Calcular
passo a passo.
- Fatoração em primos de
: dividir por várias vezes
logo
- Aplicar a fórmula:
- Calcular cada soma geométrica:
- Multiplicar: primeiro
. Faça assim: , , somando dá . Agora :
Portanto