Verifique que
para
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: verificar que
para
. Ou seja, calcular
e
e confirmar que são iguais. Aqui
é a soma de todos os divisores positivos de
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
- Se
tem fatoração em primos
onde os
são primos distintos e os
são expoentes inteiros positivos, então a função soma dos divisores
é multiplicativa e vale
- Para uma potência de primo
temos a fórmula geométrica
Explicação curta: os divisores de
são exatamente
; somando isso obtém-se a razão geométrica acima. A multiplicatividade significa que, se
e
são coprimos,
. No caso de fatoração em primos distintos, aplicamos a fórmula produto diretamente.
Passo 3
Fatoração de
(mostrando tentativa de divisão):
- Testa divisão por
: é ímpar, não divisível por . - Testa
: soma dos algarismos , múltiplo de , logo . Dividindo:
- Agora fatorar
. Testes rápidos: não é par; tentar : resto , não; tentar : . Então
Portanto a decomposição em primos de
é
ou seja, produto de três primos distintos com expoentes
.
Passo 4
Cálculo de
usando a multiplicatividade e que
quando o expoente é
:
Agora calcular passo a passo:
Multiplicando:
Logo
Passo 5
Fatoração de
:
-
é par, logo . Dividindo:
- Testar primalidade de
: verificar divisibilidade por primos pequenos até . Testes: não é divisível por (checagem direta: , , etc.), portanto é primo. Assim
produto de dois primos distintos.
Passo 6
Cálculo de
:
Calcular:
então
Passo 7
Conclusão: obtivemos
e
, portanto
. Pequeno comentário encorajador: ver que dois inteiros consecutivos têm a mesma soma de divisores é raro e bonito — aqui surgiu porque
e
têm fatorações com estruturas que produzem o mesmo produto na fórmula de
.