Verifique que \sigma(\mathrm{n})=\sigma(\mathrm{n}+1) para \mathrm{n}=957.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: verificar que \sigma(\mathrm{n})=\sigma(\mathrm{n}+1) para \mathrm{n}=957. Ou seja, calcular \sigma(957) e \sigma(958) e confirmar que são iguais. Aqui \sigma(m) é a soma de todos os divisores positivos de m.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • Se m tem fatoração em primos
m=\prod_{i} p_i^{a_i},
onde os p_i são primos distintos e os a_i são expoentes inteiros positivos, então a função soma dos divisores \sigma(m) é multiplicativa e vale
\sigma(m)=\prod_{i}\sigma(p_i^{a_i}).
  • Para uma potência de primo p^a temos a fórmula geométrica
\sigma(p^a)=1+p+p^2+\cdots+p^{a}=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}.
Explicação curta: os divisores de p^a são exatamente p^0,p^1,\dots,p^a; somando isso obtém-se a razão geométrica acima. A multiplicatividade significa que, se u e v são coprimos, \sigma(uv)=\sigma(u)\sigma(v). No caso de fatoração em primos distintos, aplicamos a fórmula produto diretamente.

Passo 3

Fatoração de \,957 (mostrando tentativa de divisão):
  • Testa divisão por 2: 957 é ímpar, não divisível por 2.
  • Testa 3: soma dos algarismos 9+5+7=21, múltiplo de 3, logo 3\mid957. Dividindo:
957\div 3 = 319.
  • Agora fatorar 319. Testes rápidos: 319 não é par; tentar 7: 7\cdot45=315 resto 4, não; tentar 11: 11\cdot29=319. Então
319=11\cdot29.
Portanto a decomposição em primos de 957 é
957=3\cdot11\cdot29,
ou seja, produto de três primos distintos com expoentes 1.

Passo 4

Cálculo de \sigma(957) usando a multiplicatividade e que \sigma(p)=1+p quando o expoente é 1:
\sigma(957)=\sigma(3)\,\sigma(11)\,\sigma(29)=(1+3)(1+11)(1+29).
Agora calcular passo a passo:
1+3=4,\qquad 1+11=12,\qquad 1+29=30.
Multiplicando:
4\cdot12=48,\qquad 48\cdot30=1440.
Logo
\sigma(957)=1440.

Passo 5

Fatoração de \,958:
  • 958 é par, logo 2\mid958. Dividindo:
958\div 2 = 479.
  • Testar primalidade de 479: verificar divisibilidade por primos pequenos até \lfloor\sqrt{479}\rfloor\approx21. Testes: não é divisível por 3,5,7,11,13,17,19 (checagem direta: 11\cdot43=473, 13\cdot37=481, etc.), portanto 479 é primo. Assim
958=2\cdot479,
produto de dois primos distintos.

Passo 6

Cálculo de \sigma(958):
\sigma(958)=\sigma(2)\,\sigma(479)=(1+2)(1+479).
Calcular:
1+2=3,\qquad 1+479=480,
então
\sigma(958)=3\cdot480=1440.

Passo 7

Conclusão: obtivemos \sigma(957)=1440 e \sigma(958)=1440, portanto \sigma(957)=\sigma(958). Pequeno comentário encorajador: ver que dois inteiros consecutivos têm a mesma soma de divisores é raro e bonito — aqui surgiu porque 957 e 958 têm fatorações com estruturas que produzem o mesmo produto na fórmula de \sigma.

Resposta

\sigma(957)=\sigma(958)=1440

Exercícios relacionados