Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. (use o método de “coeficientes a determinar” para a solução particular)
y^prime prime+2 y^prime+y=e^x+e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da E.D.O.
y'' + 2y' + y = e^x + e^-x
O conteúdo é E.D.O. linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução da homogênea e depois uma solução particular usando coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0,
cuja única raiz é r=-1 de multiplicidade 2. Logo
yh(x) = C1 e^-x + C2,x,e^-x

Passo 3

Para o termo e^x da parte não homogênea propomos
yp1(x) = A,e^x
Então
yp1' = A,e^x, yp1'' = A,e^x,
e substituindo em y''+2y'+y obtém-se
A e^x + 2A e^x + A e^x = 4A e^x
Igualando a e^x vem
4A = 1 Longrightarrow A = tfrac14,
portanto
yp1(x) = tfrac14,e^x

Passo 4

Para o termo e^-x, como r=-1 é raiz dupla, tentamos
yp2(x) = B,x^2,e^-x
Calculando as derivadas:
yp2' = B,e^-x,(2x - x^2), yp2'' = B,e^-x,(2 - 4x + x^2)
Substituindo em y''+2y'+y resulta
B,e^-xl(2 - 4x + x^2r) +2B,e^-x,(2x - x^2) + B,x^2,e^-x = 2B,e^-x
Igualando a e^-x
2B = 1 Longrightarrow B = tfrac12,
logo
yp2(x) = tfrac12,x^2,e^-x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x)

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2,x,e^-x + tfrac14,e^x + tfrac12,x^2,e^-x

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