Find the unit tangent vector T(t) at the given point on the curve.
22. r(t)=sin t i+5 t j+cos t k, (0,0,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=sin t,i+5t,j+cos t,k
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto (0,0,1).
Para isso precisamos:
  1. Determinar o valor de t que leva r(t) a (0,0,1).
  2. Calcular a derivada r'(t).
  3. Avaliar r'(t) em t0 e normalizá-la para obter T(t0).

Passo 2

Procuramos t0 tal que
sin t0 = 0, 5t0 = 0, cos t0 = 1
Da segunda equação vem t0=0. Verificando as outras: sin0=0 e cos0=1. Logo t0=0.

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t)=ddtl(sin t,,5t,,cos tr) =(cos t,,5,,-sin t)
Em t0=0 isso dá
r'(0)=(cos0,,5,,-sin0)=(1,5,0)

Passo 4

O módulo de r'(0) é
|r'(0)|=raiz1^2+5^2+0^2=raiz26
Normalizando, obtemos
T(0)=r'(0)|r'(0)| =l(1raiz26,,5raiz26,,0r)

Resposta

T(0)=1raiz26,i+5raiz26,j

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