Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. (use o método de “coeficientes a determinar” para a solução particular)
y^prime prime-2 y^prime+10 y=sen(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 10y = sen(3x)
Usaremos o método de coeficientes a determinar, que consiste em obter primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Resolvemos a parte homogênea
y'' - 2y' + 10y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 10 = 0
Calculando as raízes:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot102 = 2 pm raiz4 - 402 = 2 pm raiz-362 = 1 pm 3i
Logo, a solução da homogênea é
yh(x) = e^xl(C1cos(3x) + C2sen(3x)r)

Passo 3

Para a solução particular yp, como o termo à direita é sen(3x) e e^0xcos(3x), e^0xsen(3x) não aparecem na homogênea, assume-se
yp(x) = Acos(3x) + Bsen(3x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Substituindo em :
Agrupando coeficientes de e :

Passo 5

Para que isso seja igual a sen(3x), deve valer
A - 6B = 0, 6A + B = 1
Resolvendo o sistema:
da primeira, A = 6B. Substituindo na segunda:
6(6B) + B = 1 ;Rightarrow; 37B = 1 ;Rightarrow; B = 137, A = 637
Logo,
yp(x) = 637cos(3x) + 137sen(3x)

Passo 6

A solução geral é a soma de yh com yp:
y(x) = e^xl(C1cos(3x) + C2sen(3x)r) + 637cos(3x) + 137sen(3x)

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(3x) + C2sen(3x)r) + 637cos(3x) + 137sen(3x)

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