Nos problemas 17-22, ache um soluçâo geral para a equaçalo diferencial.
y^prime prime(theta)+2 y^prime(theta)+2 y(theta)=e^-theta cos theta

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(theta)+2y'(theta)+2y(theta)=e^-thetacostheta
Para achar a solução geral, vamos primeiro obter a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+2y'+2y=0
A equação característica é
r^2+2r+2=0,
cuja solução é
r=-1pm i
Logo a solução complementar é
yc(theta)=e^-thetal(C1costheta + C2sinthetar)

Passo 3

Para encontrar uma solução particular, observe que o lado direito é e^-thetacostheta, que coincide com o mesmo fator exponencial e trigonométrico da homogênea. Usamos o método de variação de parâmetro exponencial, definindo
y(theta)=e^-thetav(theta)
Calculando derivadas:
y' = e^-theta(v'-v), y'' = e^-theta(v''-2v'+v)
Substituindo em y''+2y'+2y obtemos
e^-thetal(v''-2v'+v +2(v'-v)+2vr) =e^-thetal(v''+vr)
Portanto a equação reduz-se a
v''(theta)+v(theta)=costheta

Passo 4

Agora resolvemos
v''+v=costheta
A homogênea de v tem solução vc=Acostheta+Bsintheta, e como costheta já é solução homogênea, usamos o ansatz com fator theta:
vp(theta)=thetal(Acostheta + Bsinthetar)
Calculando vp''+vp (após derivar) chega-se a
vp''+vp = -2Asintheta + 2Bcostheta
Para igualar a costheta requer-se
2B=1, -2A=0 ;Longrightarrow; A=0,;B=tfrac12
Assim
vp(theta)=tfrac12,thetasintheta

Passo 5

Voltando a y(theta)=e^-thetav(theta), a solução particular é
yp(theta)=e^-thetavp(theta) =tfrac12,theta,e^-thetasintheta
Logo a solução geral é a soma da complementar com a particular.

Resposta

y(theta) =e^-thetal(C1costheta + C2sinthetar) +tfrac12,theta,e^-thetasintheta

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