Nos problemas 17-22, ache um soluçâo geral para a equaçalo diferencial.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para achar a solução geral, vamos primeiro obter a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução complementar é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular, observe que o lado direito é
, que coincide com o mesmo fator exponencial e trigonométrico da homogênea. Usamos o método de variação de parâmetro exponencial, definindo
Calculando derivadas:
Substituindo em
obtemos
Portanto a equação reduz-se a
Passo 4
Agora resolvemos
A homogênea de
tem solução
, e como
já é solução homogênea, usamos o ansatz com fator
:
Calculando
(após derivar) chega-se a
Para igualar a
requer-se
Assim
Passo 5
Voltando a
, a solução particular é
Logo a solução geral é a soma da complementar com a particular.