Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. (use o método de "variação dos parâmetros para a solução particular)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
que é uma E.D.O. linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Agora integramos u'1 e u'2. Se fizermos a conta completa aparece uma combinação de funções de erro, mas observamos que, ao escolher constantes de integração que eliminem as partes correspondentes à solução homogênea, a combinação
yp(x) = u1(x),e^raiz2x + u2(x),e^-raiz2x
se reduz de forma limpa a
yp(x)=e^x^2
Podemos verificar rapidamente que, de fato, se yp=e^x^2 então
yp' = 2x,e^x^2, yp''=(2+4x^2)e^x^2,
e portanto
yp'' - 2yp = (2+4x^2)e^x^2 - 2e^x^2 =4x^2 e^x^2,
confirmando que é uma solução particular.
Passo 5
Juntando homogênea e particular, a solução geral é