Find the length of the curve.
4. r(t)=lang<= 2 t, t^2, 13 t^3rang<=, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica r(t)=lang<=2t,;t^2,;tfrac13t^3rang<= no intervalo 0<= t<=1. O conteúdo é o cálculo de comprimento de curva em R^3, que usa a fórmula
L=integrala^b|r'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t)=lang<= tfracddt(2t),;tfracddt(t^2),;tfracddtl(tfrac13t^3r)rang<= =lang<= 2,;2t,;t^2rang<=

Passo 3

O módulo de r'(t) é
|r'(t)| =raiz2^2+(2t)^2+(t^2)^2 =raiz4+4t^2+t^4 =raiz(t^2+2)^2 =t^2+2,
pois t^2+2>=0 para todo t.

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento, obtemos
L=integral0^1(t^2+2),dt

Passo 5

Integramos:
integral0^1(t^2+2),dt =l[tfract^33+2tr]0^1 =l(tfrac1^33+2cdot1r)-0 =tfrac13+2 =tfrac73

Resposta

O comprimento da curva é tfrac73.

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