Find parametric equations for the tangent line to the curve with the given parametric equations at the specified point.
x=raizt^2+3, y=ln (t^2+3), z=t ; (2, ln 4,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=raizt^2+3, y=lnl(t^2+3r), z=t
e pede as equações paramétricas da reta tangente no ponto (2,ln(4),1). Para isso vamos (i) encontrar o valor t0 que gera esse ponto, (ii) calcular o vetor tangente l(x'(t0),y'(t0),z'(t0)r) e (iii) usar a forma
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+lambda,(vx,vy,vz)

Passo 2

Como z=t, o ponto dado tem coordenada z=1Rightarrow t0=1. Verificando em x e y:
x(1)=raiz1^2+3=raiz4=2, y(1)=ln(1+3)=ln(4),
o que confere com (2,ln(4),1).

Passo 3

Derivamos cada coordenada em função de t:
x'(t)=traizt^2+3, y'(t)=2tt^2+3, z'(t)=1
Avaliar em t=1
x'(1)=tfrac12, y'(1)=tfrac12, z'(1)=1

Passo 4

O vetor tangente é l(tfrac12,tfrac12,1r). Para simplificar, multiplicamos por 2 e usamos o vetor paralelo (1,1,2). Com parâmetro lambda, as equações da reta tangente ficam:

Resposta

x=2+lambda, y=ln(4)+lambda, z=1+2lambda

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