Determine a solução geral das equações homogêneas:
y^prime prime-y^prime+y=0

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial homogênea . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, a gente vai precisar entender sobre soluções de equações lineares de segunda ordem e as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação tem a forma , onde é um número que a gente vai encontrar. Essa é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.

Passo 3

Agora, vamos derivar y' = r e^rt e y'' = r^2 e^rt para encontrar r^2 e^rt - r e^rt + e^rt = 0 e :
Substituindo esses resultados na equação original:

Passo 4

Podemos fatorar e^rt (r^2 - r + 1) = 0 da equação:
r^2 - r + 1 = 0
Como r = 1 pm raiz1 - 42 = 1 pm raiz-32 = 12 pm raiz32i nunca é zero, a gente resolve:
Para encontrar , usamos a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: e .

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma y(t) = e^alpha t (C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t)) , a solução geral da equação é:
Aqui, e .

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = e^,12t ( C1 cos(raiz32 t) + C2 sin(raiz32 t) )
onde e são constantes arbitrárias.

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