Determine a solução geral das equações homogêneas:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial homogênea
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, a gente vai precisar entender sobre soluções de equações lineares de segunda ordem e as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação tem a forma
, onde
é um número que a gente vai encontrar. Essa é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo esses resultados na equação original:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, a gente resolve:
Para encontrar
, usamos a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas:
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação é:
Aqui,
e
.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.