Calcular a solução particular das seguintes E.D.O. usando o Método da Transformada de Laplace.
y^prime prime+2 y^prime=0, tal que y=1 quando x=0 e y^prime=0 quando x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da E.D.O.
y'' + 2y' = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando o método da transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
Ly'(s)=sY(s)-y(0) e
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=Ly(x)(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da E.D.O.:
Ly''(s) + 2,Ly'(s) = L0(s)=0
Substituindo as fórmulas conhecidas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0, obtemos
l(s^2Y(s)-scdot1-0r) ;+;2l(sY(s)-1r);=;0

Passo 3

Reúnimos os termos em Y(s):
s^2Y(s)-s+2sY(s)-2=0 ;;Longrightarrow;; Y(s)l(s^2+2sr)=s+2
Logo
Y(s)=s+2s(s+2)
Fazendo frações parciais:
s+2s(s+2)=As+Bs+2,
com s+2=A(s+2)+Bs. Igualando coeficientes dá
A+B=1,2A=2;Rightarrow;A=1,;B=0,
portanto
Y(s)=1s

Passo 4

A transformada inversa de
1s
é
y(x)=L^-1l1sr(x)=1

Resposta

A solução particular da E.D.O. é
y(x)=1

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