(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d x}\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{47}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
l(1+cos^2xr)^47
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=1+cos^2x
e a função externa
f(u)=u^47
A derivada de f em relação a u é
dfdu=47,u^46

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x). Como u(x)=1+cos^2x, temos
ddx(1)=0eddx(cos^2x)=2cos xcdotl(-sin xr)=-2cos x,sin x
Logo,
dudx=-2cos x,sin x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
ddxl((1+cos^2x)^47r) =dfdul|u=1+cos^2x,dudx =47,(1+cos^2x)^46,l(-2cos x,sin xr)
Portanto,
ddxl((1+cos^2x)^47r) =-94cos x,sin x,(1+cos^2x)^46
Como observação, usando cos x,sin x=tfrac12sin(2x), podemos reescrever
-94cos x,sin x,(1+cos^2x)^46 =-47sin(2x),(1+cos^2x)^46

Resposta

ddxl((1+cos^2x)^47r) =-94cos x,sin x,(1+cos^2x)^46,
ou equivalentemente
-47sin(2x),(1+cos^2x)^46

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