Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
z^prime prime(x)+z(x)=2 e^-x ; z(0)=0, z^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
z''(x) + z(x) = 2e^-x, z(0)=0, z'(0)=0
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar duas etapas: primeiro achar a solução da homogênea e depois uma particular por coeficientes não determinados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
zh'' + zh = 0
A equação característica é
lambda^2 + 1 = 0 Longrightarrow lambda = pm i
Logo
zh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma ,zp(x)=A e^-x. Calculamos
zp' = -A e^-x, zp'' = A e^-x,
e substituímos em z''+z=2e^-x:
A e^-x + A e^-x = 2e^-x Longrightarrow 2A = 2 Longrightarrow A = 1
Então
zp(x) = e^-x

Passo 4

A solução geral é
z(x) = C1cos x + C2sin x + e^-x
Aplicando as condições iniciais:
em x=0,
z(0) = C1 + 0 + 1 = 0 Longrightarrow C1 = -1
Derivando z:
z'(x) = -C1sin x + C2cos x - e^-x,
então em x=0,
z'(0) = 0 + C2 - 1 = 0 Longrightarrow C2 = 1

Resposta

boxed,z(x) = -cos x + sin x + e^-x,

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