Calcular a solução particular das seguintes E.D.O. usando o Método da Transformada de Laplace.
y^prime prime+4 y=sen(x) que satisfaz as condições y=1, y^prime=1 quando x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por Transformada de Laplace a E.D.O.
y'' + 4y = sen(x)
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.
O que vamos usar:
  • Ly''(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
  • Ly(s)=Y(s),
  • Lsen(x)(s)=tfrac1s^2+1.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados:
Ly'' + 4,Ly ;=;Lsen(x)
l(s^2Y(s)-scdot1-1r) +4Y(s) ;=;1s^2+1
Agrupando Y(s):
(s^2+4),Y(s) ;-;s ;-;1 ;=;1s^2+1

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) =s+1s^2+4 ;+;1(s^2+1)(s^2+4)
Fazemos frações parciais em dfrac1(s^2+1)(s^2+4). Queremos
1(s^2+1)(s^2+4) =As^2+1+Bs^2+4
De 1 = A(s^2+4)+B(s^2+1) vem
(A+B)s^2 + (4A+B) = 1
Logo A+B=0 e 4A+B=1. Daí A=tfrac13 e B=-tfrac13.
Substituindo:
Y(s) =ss^2+4 + 1s^2+4 + 13,1s^2+1 - 13,1s^2+4
Juntando os termos em s^2+4:
Y(s) =ss^2+4 + 2/3s^2+4 + 1/3s^2+1

Passo 4

Agora invertemos cada parcela:
  • L^-1!ltfracss^2+4r = cos(2x).
  • L^-1!ltfrac2/3s^2+4r = 23,12sen(2x) = 13sen(2x)
  • L^-1!ltfrac1/3s^2+1r = 13sen(x)

Resposta

boxedy(x)=cos(2x)+tfrac13sen(2x)+tfrac13sen(x)

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