(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(\sqrt{x+\sqrt{x}})^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de raizx+raizx em função de x, usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivação de função composta, onde temos uma raiz quadrada aplicada a uma soma x+raizx. Vamos identificar a função externa e a interna para depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x + raizx
e a função externa
f(u) = raizu ,
Pela regra da cadeia, a derivada de f(u(x)) é
l(f(u(x))r)' = f'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x+raizx, temos
u'(x) = ddxl(xr) + ddxl(raizxr) = 1 + 12raizx

Passo 4

Agora, a derivada da função externa f(u)=raizu=u^1/2 é
f'(u) = 12raizu = 12,u^1/2
Substituindo u=u(x)=x+raizx, fica
f'l(u(x)r) = 12raizx+raizx

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia,
ddxl(raizx+raizxr) = f'l(u(x)r)cdot u'(x) = 12raizx+raizx,l(1 + 12raizxr)

Passo 6

Para simplificar, colocamos tudo sobre um único denominador:
1 + 12raizx = 2raizx+12raizx
e
12raizx+raizxcdot 2raizx+12raizx = 2raizx+14,raizx,raizx+raizx

Resposta

l(raizx+raizxr)' = 2raizx+14,raizx,raizx+raizx

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