Caso existam, determine os seguintes limites e indique retas assintotas se existirem.
lim x 1 raiz[3]x-1raiz[4]x-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto1raiz[3]x-1raiz[4]x-1
e, se existirem, as retas assintotas. O conteúdo aqui é cálculo de limite indeterminado do tipo 0/0, para o qual podemos usar a regra de l’Hospital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=1:
raiz[3]1-1=0 e raiz[4]1-1=0,
logo o quociente dá 0/0.

Passo 3

Como temos 0/0, aplicamos l’Hospital. Calculamos as derivadas:
– Numerador raiz[3]x-1 = x^1/3-1 tem derivada
ddxl(x^1/3-1r)=13x^-2/3
– Denominador raiz[4]x-1 = x^1/4-1 tem derivada
ddxl(x^1/4-1r)=14x^-3/4

Passo 4

O limite transforma-se em
limxto113x^-2/314x^-3/4 =1/31/4,limxto1x^-2/3+3/4 =43cdot1 =43

Passo 5

O valor do limite é finito, portanto não há reta assintota vertical em x=1. Também não há assíntota horizontal associada a esse ponto.

Resposta

limxto1raiz[3]x-1raiz[4]x-1=43
Não existem retas assintotas nesse caso.

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